Питання та завдання для самоперевірки

1. Дайте означення рангу матриці.

2. Яким може бути ранг матриці ?

3. Дайте означення базисного мінора матриці.

4. Сформулюйте теорему Кронекера-Капеллі.

5. Що називається загальним розв’язком системи лінійних рівнянь?

6. Чи може ранг розширеної матриці бути меншим за ранг матриці системи?

7 Ров’яжіть системи рівнянь:

а) , б) , в)

1.8. Елементи векторної алгебри

Означення 1.45. вимірним вектором називається упорядкований набір чисел, які називаються компонентами вектора:

, або .

Означення 1.46. Нуль-вектором називається вектор, усі компоненти якого нулі:

, або .

Означення 1.47. Ортом називається вектор, -та компонента якого дорівнює одиниці, а всі інші – нулі:

, або .

Використовуючи поняття ортів, можна викласти метод Жордана-Гаусса та обчислення рангу матриць у такий спосіб.

Вилучення якоїсь змінної з усіх рівнянь, крім одного, у якому воно входитиме з коефіціентом „1” означає, що відповідна колонка матриці системи стає ортом. Таким чином, метою перетворень є отримання максимально-можливої кількості різних ортів. Саме ці орти утворюють базисний мінор, а відповідні змінні є базисними.

Одночасно кількість різних ортів визначає ранг матриці.

При розв’язуванні системи лінійних рівнянь перетворюється розширена матриця системи, причому орти робляться з колонок тільки матриці системи. Таким чином ми встановлюємо ранг матриці системи. Виписавши базисний мінор та додавши до нього колонку вільних членів, ми отримаємо квадратну верхньотрикутну матрицю. Її детермінант дорівнює добутку елементів головної діагоналі, і тому відразу зрозуміло, дорівнює він нулю чи ні. Якщо дорівнює, то ранг розширеної матриці співпадає з рангом матриці системи, а якщо ні, то ранг розширеної матриці більший за ранг матриці системи.

Отже, використовуючи перетворення Жордана-Гаусса, ми одночасно досліджуємо систему та знаходимо її розв’язок.

Операції на множині векторів

Означення 1.48. Два вектори та називаються рівними, якщо рівними є їх відповідні компоненти: .

Зрозуміло, що можуть бути рівними вектори однакової вимірності.

I. Додавання векторів

Означення 1.49. Сумою двох векторів називається вектор, компоненти якого є сумою відповідних компонентів даних векторів:

.

Ця операція підпорядкована комутативному та асоціативному законам:

II. Добуток вектора на скаляр

Означення 1.50. Добутком вектора на скаляр називається вектор, компоненти якого дорівнюють компонентам даного вектора, помножених на скаляр:

.

Операція підпорядкована комутативному, асоціативному та дистрибутивному законам відповідно додавання:

Операція віднімання реалізується так само, як операція віднімання на множині матриць:

.

Оскільки на множині векторів визначені операції додавання і множення на скаляр, то вектори утворюють вимірний лінійний простір.

III. Скалярний добуток векторів

Означення 1.51. Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює сумі добутків відповідних компонентів:

(1.15)

Результатом скалярного добутку є число, тобто не елемент даного лінійного простору.

З означення витікає, що можна перемножати лише вектори однакової вимірності.

Операція підпорядкована комутативному та дистрибутивному законам, але не підпорядкована асоціативному:

Означення 1.52. Абсолютною величиною або модулем (довжиною) вектора називається квадратний корінь із квадрата цього вектора:

(1.16)

Означення 1.53. Лінійний простір, який складається з – вимірних векторів, на яких визначена операція скалярного добутку, називається

– вимірним Евклідовим простором.

Виходячи з геометричної ілюстрації поняття вектора, у шкільному курсі введено поняття колінеарності та компланарності.

Два вектори називаються колінеарними, якщо вони належать одній прямій або лежать на паралельних прямих.

Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать на одній площині або на паралельних площинах.

Для таких векторів скалярний добуток визначається за формулою:

,

де - кут між векторами.

Теорема 1.9. Необхідна і достатня умова колінеарності двох векторів.

Вектор колінеарний до ненульового вектора тоді і тільки тоді, коли існує число , таке що .

Теорема 1.10. Необхідна і достатня умова перпендикулярності векторів.

Два ненульових вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю: .

Якщо вектори мають вимірність більшу за три, то не існує поняття кута між ними, але вводиться поняття ортогональності, яке є продовженням поняття перпендикулярності.

Означення 1.54. Два ненульових вектори називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Прикладом ортогональних векторів є орти. Дійсно, знайдемо скалярний добуток двох різних ортів. Для спрощення записів візьмемо та :