Питання та завдання для самоперевірки

1. Дайте означення матриці.

2. Яка матриця називається діагональною?

3. Скільки рядків у матриці ?

4. Скільки колонок у матриці , якщо вона квадратна?

5. При якому значенні у матриці існує побічна діагональ?

6. Випишіть головну діагональ матриці .

7. Чи є діагональна матриця верхньотрикутною?

8. Дано матрицю . Випишіть елементи: а) другого рядка,

б) четвертої колонки. Зробіть те ж саме для матриці із завдання 6.

1.2. Операції на множині матриць

Означення 1.10. Дві матриці і = називаються рівними, якщо рівними є елементи однакової дислокації, тобто .

З означення випливає, що рівними можуть бути лише матриці однакової вимірності.

I. Додавання матриць

Означення 1.11. Сумою двох матриць і = називається матриця , елементи якої дорівнюють сумам елементів однакової дислокації матриць і :

.

Приклад. Нехай , , тоді

= .

Додавати можна лише матриці однакової вимірності.

Закони, яким підпорядкована операція додавання.

. Комутативний (перестановочний ):

.

Справедливість цього закону випливає з означення суми матриць та комутативного закону додавання чисел.

. Асоціативний (сполучний):

.

Справедливість цього закону випливає з означення суми матриць та асоціативного закону додавання чисел.

Даний закон дозволяє додавати будь-яку скінчену кількість матриць.

II. Множення матриці на скаляр

Означення 1.12. Добутком матриці на скаляр (число) називається матриця , елементи якої дорівнюють відповідним за дислокацією елементам матриці , що помножені на число :

.

Приклад. Нехай , тоді: .

Закони, якими підпорядкована операція множення матриці на скаляр

. Комутативний:

.

. Асоціативний:

.

. Дистрибутивний:

дистрибутивний закон відносно додавання матриць:

;

дистрибутивний закон відносно додавання чисел:

.

Обернена до додавання операція – віднімання – реалізується таким чином:

.

Приклад. Нехай , тоді:

.

III. Добуток матриць

Означення 1.13. Добутком матриці на матрицю = називається матриця , елементи якої дорівнюють сумам добутків елементів деякого рядка першої (лівої) матриці на відповідні елементи деякої колонки другої (правої) матриці.

Так, елемент дорівнює сумі добутків елементів -ого рядка лівої матриці та -ої колонки правої матриці:

. (1. 1.)

З означення випливає, що кількість елементів у рядку першої (лівої) матриці повинна дорівнювати кількості елементів у колонці другої (правої), або кількість колонок першої матриці повинна дорівнювати кількості рядків другої матриці. Це умова існування добутку матриць.

Приклад. Зрозуміло, що кількість рядків матриці, яка є добутком, дорівнює кількості рядків лівої, а кількість колонок – кількості колонок правої матриці:

(1.2.)

Особливістю множення матриць є те, що воно не підпорядковано комутативному закону.

Дійсно, розглянемо дві матриці: . Добуток існує, якщо . При цьому, якщо , то добуток не існує. Якщо ж , то добуток існує, але не для кожної пари матриць виконується рівність:

.

Приклад. Розглянемо дві матриці:

та .

Добуток існує.

Також існує добуток і вони є рівними. Така пара матриць називається взаємно комутативними.

Розглянемо тепер такі дві матриці:

та .

Існують обидва добутки:

та

,

але вони, зрозуміло, не є рівними: .

Можливі ще два випадки: добуток існує, а добуток не існує та обернена ситуація: не існує, а добуток - існує.

Внаслідок відсутності комутативного закону кажуть, що добуток на – це є матриця , помножена на матрицю зліва, або матриця , помножена на матрицю справа.