Метод Жордана - Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь

Означення 1.32. Дві системи рівнянь називаються еквівалентними, якщо множини їх розв’язків співпадають.

Означення 1.33. Перетворення системи називається еквівалентним, якщо в результаті його застосування ми отримаємо систему, що еквівалентна початковій.

Означення 1.34. Елементарними називаються такі перетворення лінійних систем:

- почленне додавання двох рівнянь;

- множення рівняння на число, яке не дорівнює нулю;

- зміна рівнянь місцями;

- вилучення рівняння, яке являє собою правильну числову рівність;

- додавання до рівняння лінійної комбінації решти рівнянь.

Перші два перетворення визначають, що рівняння системи утворюють лінійний простір, а тому визначена лінійна комбінація рівнянь.

Метод Жордана-Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь спирається саме на елементарні перетворення.

Теорема 1.5. Елементарні перетворення систем лінійних рівнянь є еквівалентними перетвореннями (без доведення).

Метод Жордана-Гаусса реалізує процедуру послідовного вилучення невідомих з рівнянь системи. За допомогою одного з рівнянь якусь одну змінну вилучають з решти рівнянь. Для цього знаходять множники, на які слід помножити дане рівняння, щоб, додавши його до інших рівнянь, вилучити звідти певну змінну, зробивши коефіцієнт при ній рівним нулю. При цьому коефіцієнт при змінній, яка залишалась у даному рівнянні, повинен дорівнювати одиниці. Далі за допомогою іншого рівняння вилучають ще одну невідому і так далі.

Приклад.

Помножимо перше рівняння на 2 та додамо до третього:

Помножимо третє рівняння на (-3) та додамо до другого:

Помножимо друге рівняння на (-1) та додамо до першого, потім поділимо друге рівняння на (-2): .

Остання система, власне, визначає її корінь: , а оскільки вона еквівалентна початковій системі, то цей набір значень змінних є коренем початкової системи.

Питання та завдання для самоперевірки

1. Що означає розв’язати систему рівнянь?

2. Сформулюйте поняття кореня системи рівнянь з змінними.

3. Яка система називається несумісною?

4. Сформулюйте правило Крамера розв’язування систем лінійних рівнянь.

5. Перелічіть елементарні перетворення систем лінійних рівнянь.

6. Розв’яжіть систему рівнянь:

а) за правилом Крамера; б) методом оберненої матриці; в) методом Жордана-Гаусса.

7. Таке ж саме завдання для системи: .

8. Ров’яжіть системи рівнянь:

а) , б)

1.7. Ранг матриці

Розглянемо довільну матрицю .

Означення 1.35. Мінором -го порядку матриці називається детермінант матриці, яка утворюється елементами, що стоять на перетині рядків з номерами та колонок з номерами . Позначається цей мінор так: .

Зауважимо, що на відміну від доповняльного мінору, який існує лише у квадратних матрицях і утворюється викресленням, мінор -го порядку існує у матриць будь-якої вимірності.

Приклад.

Розглянемо матрицю: . Випишемо декілька мінорів: , , .

Зрозуміло, що в матриці вимірністю найбільший порядок мінорів дорівнює .

Означення 1.36 Рангом матриці називається порядок найвищого відмінного від нуля мінору цієї матриці, позначається він так: .

Пошук рангу матриці можна здійснювати за означенням.

Цей метод реалізується в декілька етапів:

1. Розглядаються мінори 1-го порядку, тобто елементи матриці. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює нулю .

2. Якщо хоча б один із них не дорівнює нулю, то ранг не менший за одиницю .

3. Розглядаються мінори 2-го порядку. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг дорівнює одиниці. Якщо хоча б один із них не дорівнює нулю, то ранг більший або дорівнює двом , і розглядають мінори 3-го порядку і т.д.

4. Якщо існує хоча б один мінор k-го порядку, який не дорівнює нулю, а всі мінори -го порядку дорівнюють нулю або не існують, то ранг матриці дорівнює .

Приклад. Розглянемо матрицю: . Випишемо декілька мінорів першого порядку: , , отже, . Мінори другого порядку: , , отже, . , , отже, . Мінорів старших порядків не існує, тобто .

Процедура знаходження рангу матриці за означенням реалізується в методі обведення.

Не зупиняючись на цьому методі, розглянемо більш ефективний спосіб обчислення рангу, який спирається на метод елементарних перетворень.

Означення 1.37. Елементарними називаються такі перетворення матриць:

- почленне додавання двох рядків або колонок;

- множення рядка або колонки на число, яке не дорівнює нулю;

- зміна рядків або колонок місцями;

- транспонування матриць;

- вилучення рядка або колонки, що складається з нулів;

- додавання до рядка або колонки комбінації рядків або колонок, відповідно.

Теорема 1.6. Елементарні перетворення не змінюють ранг матриці (без доведення).

Означення 1.38. Матриці однакової вимірності й однакового рангу називаються еквівалентними.

Означення 1.39. Відмінний від нуля мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці, називається базисним мінором.

Зауваження. Ранг матриці − це єдине число, що є сталою характеристикою матриці, а базисних мінорів може бути декілька.

У нашому прикладі одним із можливих базисним мінорів виявився .

Як зазначалося раніше, метод Жордана-Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь можна проводити, перетворюючи не саму систему, а її матрицю. При цьому слід пам’ятати, що рядки й колонки матриць систем не рівноправні, тому перетворення можна робити лише за допомогою рядків, міняти місцями можна лише рядки, множити на число, що не дорівнює нулю, можна тільки рядки і таке інше.

Означення 1.40. Розширеною матрицею системи лінійних рівнянь називається матриця, яка утворена додаванням колонки вільних членів до матриці системи. Позначається вона .

Приклад. . Розширена матриця: .

Вертикальною рисою будемо відокремлювати колонку вільних членів:

П омножимо 3-ій рядок на (-2) і додамо до 1-го: .

Помножимо 1-ий рядок на 3 і додамо до 2-го, потім помножимо 1-ий рядок на (-1):

. Помножимо 2-ий рядок на ( ):

П омножимо 2-ий рядок на (-7) і додамо до 1-го, потім помножимо його на (-4) і додамо до 3-го: . Ми отримали систему: , яка являє собою розв’язок системи.

Розглянемо співвідношення рангів матриці системи та розширеної матриці системи.

Ранг розширеної матриці може бути більшим або дорівнювати рангу матриці системи. Дійсно, якщо ранг матриці дорівнює , то в неї існує відмінний від нуля мінор -го порядку, який одночасно є мінором розширеної матриці. Отже, її ранг більший або дорівнює дорівнює , тобто:

.

Теорема 1.7. (Кронекера – Капеллі)

Для того щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці дорівнював би рангу матриці системи: . Якщо при цьому ранг цих матриць дорівнює кількості змінних = , то система має єдиний розв’язок (корінь), а якщо , то система має нескінченну множину розв’язків (коренів).

(Без доведення).

Оскільки теорема 1.7. визначає необхідну й достатню умову, то при система несумісна.

Приклади. У попередньому прикладі ранги матриць були рівними й дорівнювали кількості невідомих: . За теоремою Кронекера – Капеллі система сумісна та має єдиний розв’язок (корінь): .

Р озглянемо систему: . Будемо перетворювати розширену матрицю: , , .

Існує мінор другого порядку, нерівний нулю: , а мінори третього порядку містять рядок, що складається з нулів, отже, усі вони дорівнюють нулю. Таким чином, . Система сумісна та має нескінченну множину розв’язків.

Означення 1.41. Невідомі, коефіцієнти при яких входять у базисний мінор, називаються базисними. Усі інші – вільними.

У нашому випадку базисним виявився , тому базисними змінними є , а - вільна.

Означення 1.42. Розв’язок системи, у якому базисні змінні виражаються через вільні, називається загальним.

Для того щоб отримати загальний розв’язок, треба після перетворень перенести вільні змінні з лівої частини до правої та замінити вільні змінні параметрами (у нашому випадку ):

Задаючи вільним змінним довільних значень, отримаємо деякий розв’язок. Якщо існує хоча б одна вільна змінна, таких розв’язків буде нескінченна множина.

Означення 1.43. Окремим (частинним) розв’язком системи називається розв’язок, який утримується із загального при деяких значеннях вільних невідомих.

Наприклад, при .

Означення 1.44. Базисним називається розв’язок системи, який отримується із загального при нульових значеннях вільних змінних.

Р озглянемо ще один приклад: . Будемо перетворювати розширену матрицю: , , . У матриці існує мінор другого порядку, який не дорівнює нулю: , а мінори третього порядку містять рядок, що складається з нулів, отже, усі вони дорівнюють нулю. Таким чином, .

У розширеній матриці існує мінор , отже, . Система несумісна.