Закони, яким підпорядкована операція множення матриць

. Асоціативний закон:

за умовою існування добутків та .

. Дистрибутивний:

для множення зліва:

,

для множення справа:

.

Однією з найважливіших властивостей одиничної матриці є те, що вона комутативна з будь-якою матрицею і має місце рівність:

.

Зауважимо, що у випадку, коли матриця квадратна порядку , то одинична матриця також повинна бути порядку , а якщо не квадратна, то для обчислення добутків зліва та справа потрібні одиничні матриці різних порядків.

Приклад. . Для знаходження добутків справа та зліва потрібні дві одиничні матриці: .

.

IV. Транспонування матриць

Означення 1.14. Матриця = називається транспонованою до матриці , якщо її рядками є відповідні колонки матриці :

.

Позначається транспонована матриця . Зрозуміло, що при транспонуванні параметри вимірності міняються місцями:

.

Якщо , то .

Приклад. Нехай дана матриця , тоді .

Властивості:

1. .

2. .

3. При транспонуванні діагональна матриця не змінюється.

Операція транспонування матриць є «унарною», тобто дія здійснюється над одним об’єктом (операндом), у даному випадку − над однією матрицею.

Питання та завдання для самоперевірки

1. Чи може сума двох матриць дорівнювати нуль-матриці?

2. Чи може сума двох матриць дорівнювати діагональній матриці?

3. При яких значеннях існують добутки: , , , ?

4. Обчисліть, якщо існують, добутки матриць і , де:

та .

5. Перевірте, чи виконується умова для матриці .

6. Дано дві матриці: . Випишіть елемент матриці добутку.

1.3. Детермінант матриці

На множині квадратних матриць існує декілька числових характеристик, одна з найважливіших називається детермінантом.

Означення 1.15. Детермінантом квадратної матриці -ого порядку (або детермінантом -го порядку ) називається число, яке знаходиться за певним алгоритмом (правилом), викладання якого виходить за межі нашого курсу.

Позначається він так:

.

Не менш вживаним є термін „визначник”, який являє собою переклад російського терміна „определитель”.

Розглянемо алгоритми обчислення детермінантів першого, другого і третього порядків.

1. Детермінант матриці першого порядку (детермінант першого порядку)

дорівнює цьому елементу.

(Зауваження. У даному випадку символ « » визначає не модуль числа, а детермінант матриці).

2. Детермінант матриці другого порядку (детермінант другого порядку) дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналей:

.

Приклад. .

3. Детермінант матриці третього порядку (детермінант третього порядку) обчислюється за правилом трикутників або за правилом Сарюсса.

Правило трикутників

Детермінант 3-го порядку дорівнює алгебраїчній сумі шести добутків.

Із знаком «плюс» входять: добуток елементів головної діагоналі та добутки елементів, що розташовані у вершинах рівнобічних трикутників з основами, які паралельні головній діагоналі:

І з знаком «мінус» входять: добуток елементів побічній діагоналі та добутки елементів, що розташовані у вершинах рівнобічних трикутників, основи яких паралельні побічній діагоналі:

Таким чином,

Приклад.