МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Вища математика

Конспект лекцій

для студентів 1 курсу спеціальностей

«Товарознавство і торгівельне підприємництво» та «Туризм»

Частина перша

	Затверджено на засіданні кафедри математичних методів аналізу економіки
	Протокол № від

Одеса ОНЕУ 2013

Вища математика. Конспект лекцій для студентів 1 курсу спеціальностей «Товарознавство і торгівельне підприємництво»

та «Туризм»

. Частина перша

(Уклад. О. Л. Суворовський - Одеса: ОНЕУ, ротапринт, 2012 р. -50 с.)

Укладач: О. Л. Суворовський, канд. екон. наук, доцент

Рецензенти: О. В. Проценко, канд. ф.-м. наук, доцент

(зовнішній рецензент)

С. С. Клименко, канд. ф.-м. наук, доцент

В. М. Мацкул, канд. ф.-м. наук, доцент

Коректор: А. О. Ковальова

Передмова

Дана розробка є результатом викладання протягом декількох років дисципліни „Вища математика” студентам перших курсів Одеського державного економічного університету. Вона містить перший розділ дисципліни  лінійну алгебру.

Розглядаються поняття матриць, детермінант, векторів та систем лінійних рівнянь.

Усі формули, доведення і перетворення, наведені в роботі, містяться на електронних носіях, що дозволяє використовувати мультимедійну техніку при читанні курсу лекцій.

1. Лінійна алгебра

1.1. Матриці

Означення 1.1. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, які розташовані у рядках та колонках:

Означення 1.2. Вимірністю матриці називається вираз , де –кількість рядків, а – кількість колонок.

Приклад. , .

Позначаються матриці великими латинськими літерами: . У випадках, коли вимірність матриць не має значення, її можна не вказувати, записуючи просто: .

Числа, що утворюють матрицю, називаються її елементами.

Можна також використовувати скорочений запис матриць:

.

Вираз називається загальним елементом матриці. Натуральні числа та називаються індексами. Вони визначають дислокацію елемента: перший індекс вказує на номер рядка, другий – на номер колонки, на перетині яких знаходиться цей елемент.

Матриця вважається визначеною, якщо відомо кожний її елемент та його дислокація, або задано закон, за яким можна визначити кожний її елемент та його дислокацію.

Рядки матриці утворюються елементами, що розташовані горизонтально та мають однаковий перший індекс, а колонки утворюються елементами, що розташовані вертикально та мають однаковий другий індекс.

Означення 1.3. Матрицею-рядком називається матриця, яка складається з одного рядка, її вимірність . Матрицею-колонкою називається матриця, яка складається з однієї колонки, її вимірність .

Приклад. - матриця-рядок, - матриця-колонка.

Означення 1.4. Нуль-матрицею називається матриця, усі елементи якої нулі.

Приклад. .

Вона завжди має таку вимірність, яка потрібна при операціях з нею.

Означення 1.5. Квадратною матрицею порядку називається матриця, у якої кількість колонок дорівнює кількості рядків, тобто .

Приклад. .

Означення 1.6. Головною діагоналлю квадратної матриці називають її елементи, які мають рівні індекси .

Інколи кажуть, що ці елементи утворюють головну діагональ.

Аналогічно визначається побічна діагональ квадратної матриці

порядку . Вона утворюється елементами, сума індексів яких дорівнює .

Приклад. - квадратна матриця третього порядку.

Головну діагональ утворюють числа , побічну: .

Будь-яке число можна розглядати як квадратну матрицю першого порядку: .

Означення 1.7. Верхньотрикутною називається квадратна матриця, у якої всі елементи, що розташовані нижче від головної діагоналі, дорівнюють нулю:

.

Нижньотрикутною називається квадратна матриця, у якої всі елементи, що розташовані вище від головної діагоналі, дорівнюють нулю:

.

Приклад.

верхньотрикутна нижньотрикутна

Означення 1.8. Діагональною називається квадратна матриця, у якої всі елементи, що розташовані поза головною діагоналлю, дорівнюють нулю:

.

Серед діагональних матриць особливу роль відіграє так звана одинична матриця.

Приклад.

Означення 1.9. Одиничною матрицею називається діагональна матриця, елементи головної діагоналі якої дорівнюють одиницям:

.

Одинична матриця, яка складається з рядків та колонок, позначається .

Приклад.

Як і у випадку нуль-матриці, вимірність одиничної матриці завжди така, яка потрібна при операціях з нею.