Дане рівняння зведемо до вигляду

процес ітерацій збіжний.

Візьмемо за перше наближення х₀ = 0,25 – середину відрізка [0; 0,5]. Обчислення будемо вести за формулою

n	xn	xn+1
0	0,25	0 x* =0,20164 ,20313
1	0,20313	0,20168
2	0,20168	0,20164
3	0,20164	0,20164

При знаходженні двох інших коренів методом ітерацій вже не можна скористатись формулою , оскільки

В цьому випадку рівняння потрібно представити у вигляді, наприклад, Тоді на відрізках [–3; –2], [2, 3] умова буде виконуватись.

Таким чином при практичному знаходженні кореня за методом ітерації при переході від рівняння f(x) = 0 до (1) необхідно зобразити так, щоб похідна за абсолютною величиною була якомога менша одиниці.

Для зведення рівняння f(x) = 0 до вигляду (1) може бути застосований загальний метод, котрий забезпечує виконання нерівності (3).

Нехай (4)

при , де m₁ – найменше значення похідної , ;

М₁ – найбільше значення похідної на відрізку [a, b],

Якщо похідна – від’ємна, то замість рівняння f(x)=0 розглянемо рівняння–f(x)=0.

Замінимо це рівняння f(x) = 0 еквівалентним йому рівнянням і виберемо сталу λ так, щоб забезпечити виконання умови (3)

.

1) Розкриваємо нерівність

Візьмемо праву нерівність , з неї випливає, що тобто оскільки З лівої нерівності випливає, що

Отже, значення коефіцієнта λ знаходиться в межах < <0 як правило за λ приймають значення де М₁ – максимальне значення похідної на проміжку [a, b].

Відповідно, ітераційна формула буде мати вигляд

2) Якщо то можна довести, що . (5)

І відповідний ітераційний процес має вигляд (6)

Приклад. Рівняння звести до вигляду, що допускає використання методу ітерацій. Корінь відокремлений на відрізку [1; 2]. .

Тоді , виберемо λ так, щоб для

.

Звідси

Оскільки . То на [1; 2] Значення λ можна визначити і таким способом.

Оскільки f’(x) > 0, [1; 2], то

Знайдемо, що .Звідси

(7)

Метод Ньютона (дотичних)

Нехай корінь рівняння відділений на відрізку , причому функції , неперервні і зберігають знаки на всьому відрізку .

Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому, що дуга кривої замінюється дотичною до цієї кривої (звідси й друга назва – метод дотичних).

Перший випадок. Нехай , , , (рис.1) або , , , (рис.2).

Рис.1

Рис.2

Проведемо дотичну до кривої в точці і знайдемо абсцису точки перетину дотичної з віссю . рівняння дотичної в точці має вигляд .

Покладаючи , , отримаємо . Тепер . Знову застосуємо метод Ньютона і в загальному випадку маємо .

Отримуємо послідовність , , , , .

Рис.3

Рис.4

Другий випадок. Нехай , , , (рис.3) або , , , (рис.4).

Якщо провести дотичну до кривої в точці , то вона перетне вісь абсцис у точці, що не належить . Тому проведемо дотичну у точці і запишемо її рівняння . Покладаючи , , знаходимо . Корінь . Застосуємо метод Ньютона .

Правило. Як початкову точку треба вибирати той кінець відрізку , в якому знак функції співпадає зі знаком другої похідної.

Якщо , то , а якщо , то .