Контрольні питання:
1. Яке рівняння називається диференціальним?
2. Яке рівняння відноситься до звичайного?
3. Яке рівняння відноситься до рівняння з частковими похідними?
4. Що таке задача Коші?
5. Яка задача відноситься до краєвої?
6. Що таке початкові умови?
7. Що таке краєві умови?
8. Які методи відносяться до одноточкових?
9. Які методи відносяться до багатоточкових?
10. Які методи відносяться до методів прогнозу і корекції?
11. Особливість математичної моделі методу Ейлера.
12. Геометрична інтерпретація методу Ейлера.
13. Алгоритм методу Ейлера.
14. Математична модель модифікованого методу Ейлера.
15. Геометрична інтерпретація модифікованого методу Ейлера.
16. Алгоритм модифікованого методу Ейлера.
17. Математичні моделі удосконаленого методу Ейлера.
18. Геометрична інтерпретація удосконаленого методу Ейлера та методу Ейлера.
19. Алгоритм удосконаленого методу Ейлера.
20. Математична модель методу Рунге-Кутта.
21. Геометрична інтерпретація методу Рунге-Кутта.
22. Алгоритм методу Рунге-Кутта.
23. Особливості чисельних методів розв’язання СИДР з автоматичною зміною кроку.
24. Узагальнений алгоритм багатоточкових методів.
РОЗДІЛ 7. Наближене обчислення диференціальних рівнянь.
Тема 7.2. Наближене розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
Метод скінченних різниць.
Метод прогонки.
В результаті вивчення теми студенти повинні:
Знати – суть методу скінченних різниць, розклад функції в ряд Тейлора, алгоритм методу прогонки.
Вміти – розв’язувати диференціальні рівняння за допомогою методу скінченних різниць, методу прогонки..
Завдання:
Опрацювати теоретичний матеріал, наведений в методичці, а знайти відповідний теоретичний матеріал в підручниках Коссак О. Методи наближених числень стор.103-108, Калиткин М.М. Численные методы. (папка «Підручники»), стор. 268-271
Дати відповіді на питання:
В чому суть методу прогонки?
Дати визначення таким поняттям: краєва задача, межові умови, задача Коші, тридіагональна матриця. Навести приклад.
Суть алгоритму розв’язання крайової задачі скінченнорізницевими методами.
Особливості методу прогонки.
Суть прямого ходу методу прогонки.
Суть зворотного ходу методу прогонки.
Розв’язати ЗДР
з
межовими умовами:
;
та
кроком
Різницеві методи розв'язування диференційних рівнянь у частинних похідних
Класичне визначення похідної функції однієї змінної записується у вигляді
.
Природно, в ЕОМ не можна зробити граничного переходу. З іншого боку, можна додати деяке мале, хоча і ненульове, значення h і спробувати перевірити, що наближення виходить досить точним (проблема точності) і що помилка не зростає в ході процесу обчислень (проблема стійкості), тобто цей метод зводиться до того, що похідну заміняємо різницею.
Оскільки тепер є дві незалежні змінні, то обидві вони повинні брати участь у різницевому рівнянні. Розглянемо спочатку різниці в напрямку х.
Розклад
функції
в
ряд Тейлора в околі точки (
,
)
можна
записати у вигляді:
де
лежить
між х
і х0.
Якщо тепер представити
,
то після деяких перетворень одержуємо
Класичне визначення похідної функції однієї змінної можна записати:
.
Очевидно,
на ЕОМ неможливо провести граничний
перехід. А тому із розкладу функції в
ряд Тейлора в околі точки
можна
наближено записати
(11.3)
з
помилкою обмежування
;
.
Вираз
(11.3) називають правою різницею, а
вираз
(11.4)
лівою різницею.
Користуючись (11.3) та (11.4), можна отримати різницевий вираз для 2-ї похідної
(11.5)
і відповідно
,
(11.6)
де h, k – величина кроку відповідно за координатами х та у.
Помилка
обмеження дорівнює
.
Аналогічно
(11.5) і (11.6), можна вивести вираз для
.
Використовуючи ці вирази, загальновідоме
рівняння Лапласа
,
наприклад, можна записати в кінцевих
різницях у вигляді:
(11.7)
Перевага кінцево-різницевих методів в тому, що вони дозволяють звести розв’язок крайової задачі до розв’язку системи алгебраїчних рівнянь. При розв’язку двоточкової крайової задачі
,
(10.7)
при
і
інтервал
можна
розділити на n рівних частин:
,
(10.8)
де
а
В
точках
,
що називаються вузлами, намагаються
найти значення розв’язок
.
Знаючи координати вузлів користуючись
кінцево-різницевими виразами для
похідних
(10.9)
(10.10)
можна представити диференціальне рівняння у виді різницевого рівняння.
а) якщо початкове ЗДР лінійне, то задача буде складатися з розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь;
б) якщо початкове ЗДР нелінійне, то задача зводиться до розв’язування системи нелінійних алгебраїчних або трансцендентних рівнянь;
в) методи, алгоритми та програми розв’язування таких лінійних та нелінійних рівнянь відомі, але звести розв’язування крайової задачі методом кінцевих різниць до стандартної програми важко, оскільки формулювання кожної задачі залежить від вигляду рівняння, що розглядається.
Приклад 10.1. Нехай потрібно
вирішити диференціальне рівняння
при
умовах
і
і
кроці h=0.2. В різницевій формі це
рівняння має вид
Використовуючи цю формулу і граничні умови можна виписати наступну систему чотирьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими:
