Тема 4.2: Апроксимація функцій

Сплайн-апроксимація.

Поліноміальна апроксимація

В результаті вивчення теми студенти повинні:

Знати – мати поняття про сплайн-апроксимацію, поліноміальну апроксимацію, алгоритм створення системи фундаментальних сплайнів, знати умову збіжності побудови сплайнів.

Вміти – вміти будувати систему фундаментальних сплайнів за методом найменших квадратів, розв’язувати систему за відповідними формулами.

Завдання:

1. Опрацювати теоретичний матеріал, наведений в методичці, а також скористатись книгою Самарський а.А., Гулин а.В. Численные методы. (папка «Підручники») стор. 140-148

2. Коссак О., Тумашова О., Коссак О. – Методи наближених обчислень: Навчальний посібник., стор. 59-63

3. Дати відповіді на питання:

1. Що називають апроксимацією функції?

2. Дати визначення сплайна.

3. В чому полягає задача апроксимації?

4. Суть методу найменших квадратів (МНК).

5. Скласти схему алгоритму апроксимації степеневими поліномами.

Хай як апроксимант використовується поліном ступеня n :

=

Для табличної функції, заданої кінцевою безліччю точок запишемо умову апроксимації:

(2.41)

Для знаходження невідомих коефіцієнтів скористаємося необхідною умовою екстремуму функції :

(2.42)

Систему (2.42) нескладно перетворити до наступної системи лінійних рівнянь щодо невідомих параметрів

(2.43)

(2.43)

Якщо N>n, то система (2.43) має єдине розв’язок, оскільки по побудові функція (2.41) є опуклою унімодальною функцією (направленою опуклістю вниз) отже умови (2.42) є необхідною і достатньою ознакою мінімуму функції, у якої є єдиний екстремум.

Сплайн-апроксимація

Хай як апроксимант в (2.40) використовується інтерполяційний сплайн, заданий на інтерполяційній сітці . Побудуємо систему фундаментальних сплайнів :

,

, тоді сплайн можна представити в розкладанні по фундаментальних сплайнах :

= (2.44)

де - невідоме значення функції у вузлі інтерполяції .

Для апроксимації початкової функції заданої своїми значеннями на скінченій безлічі точок побудуємо цільову функцію:

= . (2.45)

Використовуючи необхідну ознаку екстремуму функції , для визначення , маємо наступну систему рівнянь :

яку можна перетворити до системи лінійних рівнянь щодо невідомих :

Задача апроксимації функції сплайнами розв'язується дещо складніше, ніж за допомогою поліномів, оскільки необхідно розв'язати три достатньо складні проблеми:

1. Визначитися з кількістю вузлів інтерполяції сплайна . Чим більше вузлів інтерполяції, тим більше ступенів свободи надається для сплайн-функції, тим формально точніше може бути розв’язана задача апроксимації функції . Проте, в цьому випадку погіршуються згладжуючі властивості сплайна, оскільки він починає інтерполювати функцію разом з її похибками вимірювання . При виборі кількості вузлів інтерполяції слід шукати розумний компроміс між точністю наближення і гладкістю формованої залежності.

2. Побудувати усередині сітки апроксимації, інтерполяційну сітку сплайна. Розташування вузлів інтерполяції досить сильно позначається на розв’язку задачі апроксимації. Зазвичай використовують інтерполяційні сітки з рівномірним розташуванням вузлів інтерполяції.

3. Вибрати додаткові граничні умови для побудови системи фундаментальних сплайнів.

Контрольні питання

1. Що називають апроксимацією функції?

2. Дати визначення сплайна.

3. В чому полягає задача апроксимації?

РОЗДІЛ 4. Наближення функцій