Ітераційно-інтерполяційний метод Ейткена

У тих випадках, коли немає необхідності в отриманні наближено аналітичного виразу функції f(x), заданої таблично, а потрібно лише визначити значення цієї функції у деякій точці х*, відмінної від вузлів інтерполяції, доцільно використовувати ітераційно-інтерполяційний метод Ейткена. По суті, цей метод полягає у послідовній лінійній інтерполяції. Процес обчислення f(x*) полягає в наступному. Пронумеруємо вузли інтерполяції, наприклад у порядку їх відділення від х*, і складемо таблицю:

Тут:

- інтерполяційний многочлен степені, не вище першої, побудований на вузлах x_i та x_j;

- інтерполяційний многочлен степені, не вище другої, побудований на вузлах x_i, x_j та x_k;

. (1)

Покажемо, що якщо і - інтерполяційні многочлени, побудовані відповідно по вузлах x_i, x_j , …, x_k і x_j, …, x_k та x_m, то - інтерполяційний многочлен, побудований на вузлах x_i, x_j , …, x_k, x_m.

Дійсно, по-перше, - многочлен степені не вище n, що очевидно з побудованої формули (1). По-друге, у всіх вузлах x_р, многочлен приймає відповідне значення:

Обчислюючи послідовно по формулі (1) значення , приймають їх за послідовні наближення f(x*). Процес обчислення практично закінчують, коли абсолютна величина різниці двох послідовних наближень стає досить малою.

Приклад 1. Обчислити у точці x*=6 з точністю до ε=0,005 значення функції f = ln x, задану у вигляді таблиці:

x	1	2	4	5	8	10
F	0,00	0,69	1,39	1,61	2,08	2,30

■ Пронумеруємо вузли в такому порядку: x0 =5, x1 = 8, x2 = 4, x3 =10, x4 = 2, x=1 □

Контрольні питання

Теоретичні питання:

1. Загальна постановка задачі апроксимації.

2. Основні умови теореми Діріхлє.

3. Зробити постановку задачі на тригонометричну апроксимацію.

4. Суть методу найменших квадратів (МНК).

5. Вкажіть формули чисельного обчислення коефіцієнтів Фур’є.

6. Скласти алгоритм тригонометричної апроксимації.

7. Скласти схему алгоритму апроксимації степеневими поліномами.

8. Скласти схему алгоритму апроксимації ортогональними поліномами.

10. Загальна постановка задачі на інтерполяцію і апроксимацію

11. Що таке екстраполяція функції? Зробіть загальну постановку задачі.

12. Загальна постановка задачі інтерполяції.

13. Що називається інтерполяційним багаточленом, вузлами інтерполяції?

Знайти наближене значення функції при заданому значенні аргументу за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа в нерівновіддалених вузлах таблиці

Зразок:

xi	0,05	0,10	0,17	0,25	0,30	0,36		х0
уі	0,050042	0,100335	0,171657	0,255342	0,309336	0,376403		0,263

Використаємо формулу: , де , .

і	Різниці						Di
0	0,213	-0,05	-0,12	-0,20	-0,25	-0,31	-0,19809·10-4	-2526,2
1	0,05	0,163	-0,07	0,15	0,20	0,26	0,44499·10-5	25547,7
2	0,12	0,07	0,093	-0,08	-0,13	-0,19	-0,154365·10-5	-111202,0
3	0,20	0,15	0,08	0,013	-0,05	-0,11	0,1716·10-6	1488007,0
4	0,25	0,20	0,13	0,05	-0,037	-0,06	0,7215·10-6	428740,0
5	0,31	0,26	0,19	0,11	0,06	-0,097	-0,980402·10-6	-38392,7

Отже, , ,

Скласти многочлен Лагранжа для наступної таблиці значень:

x	1	2	3	4
y	2	3	4	5

Зразок: . Допоміжний многочлен має вигляд: φ(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4). Обчислимо φ′(x) при заданих значеннях х:

φ′(x) = (x-2)(x-3)(x-4) + (x-1)(x-3)(x-4) + (x-1)(x-2)(x-4) + (x-1)(x-2)(x-3); φ′(1) = -6, φ′(2) = 2, φ′(3) = -2, φ′(4) = 6.

Тоді Таким чином, у даному випадку інтерполяційний многочлен буде лінійною функцією f(x) = х+1.

Знайти наближене значення функції при заданому значенні аргументу за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа в рівновіддалених вузлах таблиці

xi	0,101	0,106	0,111	0,116	0,121	0,126		х
yi	1,26183	1,27644	1,29122	1,30617	1,32130	1,32660		0,1157

Розв’язання:

_{Використаємо формулу: , де . Звідси,} . Обчислення в таблиці:

i	xi	yi	t–i
0	0,101	1,26183	2,94	-120	-352,8	0,0035766
1	0,106	1,27644	1,94	24	46,56	0,0274149
2	0,111	1,29122	0,94	-12	-11,28	-0,1144691
3	0,116	1,30617	-0,06	12	-0,72	-1,8141250
4	0,121	1,32130	-1,06	-24	25,44	0,0519379
5	0,126	1,33660	-2,06	120	-247,2	0,0054069

_Отже,

, , звідси

Використовуючи першу або другу інтерполяційну формулу Ньютона, обчислити значення функції при заданому значенні аргумента.

xi	1,215	1,220	1,225	1,230	1,235	1,240	1,245	1,250	1,255	1,260		х1
yi	0,106044	0,113276	0,119671	0,125324	0,130328	0,134776	0,138759	0,142367	0,145688	0,148809		1,2273
												х2
												1,253

Розв’язання:

Складемо таблицю різниць, для контролю суми введемо два рядка Σ – суми елементів стовпців, Р- різниці значень стовпців.

xi	yi	Δyi	Δ2yi	Δ3yi
1,215	0,106044	0,007232	-0,000837	0,000095
1,220	0,113276	0,006395	-0,000742	0,000093
1,225	0,119671	0,005653	-0,000649	0,000093
1,230	0,125324	0,005004	-0,00556	0,000091
1,235	0,130328	0,004448	-0,000465	0,000090
1,240	0,134776	0,003983	-0,000375	0,000088
1,245	0,138759	0,003608	-0,000287	0,000087
1,250	0,142367	0,003321	-0,000200	–
1,255	0,145688	0,003121	–	–
1,260	0,148809	–	–	–
Σ	–	0,042765	-0,004111	0,000637
Р	0,042765	-0,004111	0,000637	–

Δ²y_i- різниці другого порядку; Δ³y_i - різниці третього порядку

При складанні таблиці різниць достатньо обмежитись різницями третього порядку, оскільки вони практично сталі. Для обчислення функції при х=1,2273 скористаємось формулою Ньютона для інтерполяції вперед: _, .

Якщо х=1,2273, приймемо х₀=1,225, тоді

Для обчислення значення функції при х=1,253 скористаємось формулою Ньютона для інтерполяції назад:

Приймемо х_n=1,225, тоді ,

РОЗДІЛ 4. Наближення функцій