4.11. Приклади

Приклад 4.1. Довести ортогональність системи функцій

(4.43)

на інтервалі , де , та перетворити цю систему в ортонормовану.

Розв’язування. Щоб встановити ортогональність всієї системи, достатньо довести ортогональність двох будь-яких синусоїд: та при умові, що . Для цього обчислимо скалярний добуток цих синусоїд:

Скористаємося формулою розкладу добутку тригонометричних функцій:

.

Тому

,

бо значення синусоїд, аргумент яких кратний , дорівнює нулю.

Щоб зробити нормованою задану систему синусоїд, знайдемо норму довільної синусоїди:

.

Отже, норма кожної синусоїди

.

Здійснимо перехід від заданої ортогональної на інтервалі системи функцій до ортонормованої на тому ж інтервалі системи функцій :

.

Отже, система функцій

(4.44)

ортонормована на інтервалі .

Приклад 4.2. Довести ортогональність системи функцій

(4.45)

на інтервалі , де , та перетворити цю систему в ортонормовану.

Розв’язування. Спочатку доведемо ортогональність одиниці з довільною косинусоїдою.

.

А тепер встановимо ортогональність будь-якої пари різних косинусоїд: та при .

.

Скористаємося формулою розкладу добутку тригонометричних функцій:

.

Тому

.

Тепер визначимо норму будь-якої косинусоїди на заданому інтервалі:

.

Отже, норма кожної синусоїди

.

Перейдемо від заданої ортогональної на інтервалі системи функцій до ортонормованої на тому ж інтервалі системи функцій :

.

Так як число одиниця вже нормоване, то система функцій

(4.46)

ортонормована на інтервалі .

Зауваження. Так як ортогональне розвинення функції S(t) у вигляді ряду за ортогональною системою функцій має вигляд

, (4.47)

то при використовуванні системи (4.43) чи (4.44) всі члени ряду (4.47) будуть синусоїдами. Так як синусоїди непарна функція, то сигнал S(t) може бути тільки непарною функцією. Якщо ж використовувати ортогональну систему (4.45) чи (4.46), то ряд (4.47) буде складатись лише із косинусоїд, а це означає, що S(t) може бути тільки парною функцією. Для ортогонального розвинення інших функцій потрібні більш повні системи ортогональних базових функцій. Таке розвинення здійснимо шляхом об’єднання двох розглянутих систем функцій.

Приклад 4.3. Довести ортонормованість системи функцій

. (4.48)

Розв’язування. В попередніх двох прикладах нормованість системи (4.48) доведена повністю, а ортогональність цієї системи доведена частково. Залишилось встановити, що одиниця ортогональна з будь-якою синусоїдою, а довільна пара функцій, яку складають та при , теж ортогональна.

.

Тепер розглянемо скалярний добуток

.

Скористаємося формулою розкладу добутку тригонометричних функцій:

.

Тоді

.

Була використана парність косинуса . Отже, система (4.48) – ортонормована.

Перш ніж приступити до розв’язання наступної задачі згадаємо деякі властивості комплексних чисел та функцій.

Будь-яке комплексне число можна подати в алгебраїчній, тригонометричній чи показниковій формах:

. (4.49)

При модулі всі відповідні комплексні числа будуть лежати на одиничному колі (рис. 4.5). Рівняння одиничного кола має вигляд:

. (4.50)

Якщо фаза є лінійною функцією часу з кутовою швидкістю , то функція

(4.51)

відображає рівномірний рух точки по одиничному колу проти годинникової стрілки, а функція

(4.52)

відображає рівномірний рух точки по одиничному колу за годинниковою стрілкою (рис. 4.6). z та – комплексно-спряжені числа.

Рис. 4.5.  Рис. 4.6. 

При рівняння (4.49) стає формулою Ейлера

. (4.53)

Для комплексно-спряженого числа (при –і):

. (4.54)

Додавши, а потім віднявши рівняння (4.53) та (4.54), одержимо

, (4.55)

. (4.56)

Формули (4.55) і (4.56) дозволяють перейти від ряду Фур’є в комплексній формі до ряду Фур’є в дійсній формі, а формули (4.53) і (4.54) дозволяють здійснити зворотний перехід.

Приклад 4.4. Довести ортонормованість системи комплексних функцій

. (4.57)

Розв’язування. Скалярний добуток довільної пари комплексних базових функцій

.

При

.

Було враховано, що . Отже, ортогональність доведена.

При

.

Нормованість доведена. Таким чином, доведена ортонормованість системи комплексних функцій (4.56), яка може служити базисом розкладу сигналу S(t) в комплексний ряд Фур’є.

Приклад 4.5. Використовуючи геометричні властивості графіків функцій, показати, що зображені на рис. 4.7 функції утворюють ортонормовану систему.

а) b)

Рис. 4.7. 

Спочатку дамо довідку. Дана система функцій утворена з ортонормованої системи (4.48) з допомогою сигнум-функції:

(4.58)

Нагадаємо, що

(4.59)

Всі гармоніки типа синусоїд зображені на рис. 4.7, а, а – типа косинусоїд – на рис. 4.7, b.

В даній задачі потрібно довести ортонормованість системи функцій:

. (4.60)

Розв’язування. Ортонормованість системи функцій (4.60) треба встановити на відрізку [0, 1]. Кожна із базових функцій на відрізку [0, 1] приймає значення 1 або −1, а також значення 0 в окремих точках, число яких злічене. Тобто, кожна базова функція кусково-неперервна. Нормованість такої функції легко встановити із геометричних міркувань.

Норма кожного сигналу дорівнює

,

бо квадрат базової функції на всьому відрізку [0, 1] за винятком зліченого числа точок розриву. Тому система (4.60) нормована. Для приклада встановимо ортогональність функцій та .

Скалярний добуток двох періодичних функцій та дорівнює

.

Так як , то згідно графіка добутку (рис. 4.8) скалярний добуток визначиться так:

Рис. 4.8. 

.

Ортогональність, а отже і ортонормованість цієї пари функцій доведена. Аналогічно можна довести ортогональність, а отже і ортонормованість будь-якої іншої пари функцій.

Приклад 4.6. Використовуючи геометричні особливості графіків функцій, показати, що зображені на рис. 4.9 функції утворюють ортонормовану систему.

Дамо довідку. Дана система функцій називається функціями Уолта. Ці функції знайшли своє застосування в радіотехніці, а потім і в цифровій обробці сигналів. Система функцій Уолта позначається .

При k = 1, 2, 3, … всі інші функції Уолта можна одержати з допомогою відповідних функцій Радемахера . Так

,

,

,

,

тощо.

Система функцій Уолта складається із системи парних і непарних функцій відносно середини інтервалу визначення. Якщо інтервалом визначення є інтервал , то його серединою буде початок відліку. Парні та непарні функції Уолта позначають відповідно

, .

, .

Функції та для k = 1, 2, 3, 4, 5 зображені на рис. 4.9. Ортонормованість цієї системи доводиться так, як і для системи (4.6) в прикладі 4.5.

t

0

cal₀(t)

1

sal₁(t)

t

0

sal₂(t)

1

t

0

sal₃(t)

1

0

t

1

sal₄(t)

t

0

sal₅(t)

1

t

а) b)

Рис. 4.9.