4.10. Спектр сигналу
Дамо структурну схему пристрою для визначення коефіцієнтів розкладу в узагальнений ряд Фур’є довільного кусково-неперервного сигналу S(t) по заданій системі ортонормованих функцій , k = 0, 1, 2, …N на заданому інтервалі [a, b] (рис. 4.3).
Генератор функцій (ГФ) генерує базисні функції , потім вони перемножуються на функцію S(t), а результат інтегрується:
.
Таким
чином, вся інформація, що мітиться в
сигналі S(t),
представлена у вигляді сукупності чисел
,
k = 0, 1, 2, …N.
С
Рис. 4.3. 
укупність
коефіцієнтів
,
k = 0, 1, 2, …N
узагальненого ряду Фур’є, який є
ортогональним чи ортонормованим
розвиненням сигналу S(t)
по заданій системі функцій
на інтервалі [a, b]
називається спектром сигналу.
Спектр
сигналу
несе всю необхідну його інформацію.
Якщо ортонормований базис
складають гармоніки з частотою
,
то розклад сигналу S(t)
в
узагальнений ряд Фур’є переводить
сигнал S(t)
із
часової області в частотну:
(рис. 4.4). Сигнал S(t)
називають
оригіналом, а сигнал
− його зображенням або спектром.
Представлення сигналів в вигляді спектрів дає не лише зручний спосіб їх порівняння, а й зводить цифрову обробку сигналів згідно певних алгоритмів в часовій області до відповідних більш простих алгоритмів над спектрами в частотній області, та відкриває нові шляхи до синтезу сигналів.
На
рис. 4.4 зображено сигнал S(t)
та його спектр
,
і показано два шляхи визначення середньої
потужності
.
Результат відповідає рівності Парсеваля,
згідно якій середня потужність сигналу
в часовій області дорівнює сумі квадратів
компонент спектру в частотній області.
Як бачимо, замість інтегралу
можна знайти N
інтегралів
і потім легко визначити
,
і, крім того, мати наглядне зображення
розподілу
по компонентах спектру.
Рис. 4.4.
Досі ми розглядали приклади розкладу сигналів по дійсному базису. Сучасні системи ЦОС працюють з сигналами в комплексній формі і розкладають їх по комплексному базису.
Висновки
Вибір ортогональної системи функцій в функціональному просторі сигналів дозволяє здійснювати ортогональне розвинення функцій. Ортогональне розвинення сигналу S(t) подає його як лінійну комбінацію базових функцій . Це дозволяє вивчати особливості складних сигналів, виходячи уже з відомих властивостей функцій .
Вибір системи ортогональних функцій залежить від мети розвинення: потрібна точна чи наближена апроксимація, з допомогою скінченого чи нескінченого ряду, з швидкою чи повільною збіжністю ряду, з застосуванням найпростіших чи спектральних функцій.
Спосіб обчислення коефіцієнтів ортогонального розвинення функції визначається вибраним критерієм точності апроксимації: вимога мінімуму модуля відхилення (
);
вимога мінімуму середньоквадратичного
відхилення (
)
тощо.Як завгодно точну апроксимацію сигналу S(t) на заданому відрізку [a, b] з точки зору оцінки середньоквадратичної похибки забезпечує узагальнений ряд Фур’є:
,
де коефіцієнти розкладу визначаються за формулою
.
Значення при цьому не залежить від способу вибору норми сигналів.
При ортогональному розвиненні сигналу за повною ортогональною системою функцій повна енергія або повна середня потужність сигналу розкладається за компонентами базису згідно рівнянню Парсеваля.
При ортонормованому базисі запис рівняння Парсеваля залежить від того, як вибрана норма. У випадку, коли нормою сигналу є його енергія, то повна енергія сигналу дорівнює сумі квадратів коефіцієнтів розкладу, а ось для визначення повної середньої потужності сигналу цю суму квадратів треба розділити на довжину відрізка апроксимації. Якщо ж нормою сигналу є його середня потужність, то повна середня потужність сигналу дорівнює сумі квадратів коефіцієнтів розкладу, а ось для визначення повної енергії сигналу цю суму квадратів треба помножити на довжину відрізка апроксимації.
Сукупність коефіцієнтів , k = 0, 1, 2, …N узагальненого ряду Фур’є називається спектром сигналу. Спектр зберігає всю інформацію свого сигналу S(t).
Якщо ортонормований базис складають гармоніки з частотою , то розклад сигналу S(t) в узагальнений ряд Фур’є переводить сигнал S(t) із часової області в частотну: . Представлення сигналів у вигляді спектрів дає не тільки зручний спосіб їх порівняння. А й метод цифрової обробки сигналів. Необхідні дії над сигналами при їх цифровій обробці набагато простіше здійснити, якщо звести їх до відповідних дій над спектрами в частотній області.