4.4. Ортогональний функціональний базис

Покажемо, що ортогональну систему функцій можна використати як ортогональний функціональний базис. Для цього ортогональне розвинення функції у вигляді обмеженого ряду

помножимо скалярно на базову функцію

.

Було враховано, що при n ≠ k. Таким чином, одержимо формулу

, (4.19)

яка співпадає з формулою (4.17) чи (4.18). Але вона одержана як проекція сигналу S(t) на функцію ортогонального функціонального базису .

Таким чином, розклад кусково-неперервного сигналу S(t) по N-вимірному ортогональному функціональному базису є наближеним представленням S(t) у вигляді ортогонального розвинення сигналу на інтервалі [a, b], при цьому ортогональний розклад забезпечує мінімальну середньоквадратичну похибку для заданого N.

Залишилось визначити величину середньоквадратичної похибки в залежності від N та встановити, як за рахунок зміни значення N зробити цю похибку апроксимації щонайменшою.

4.5. Шляхи зменшення середньоквадратичної похибки

Повернемось до формули (4.12) та визначимо величину середньоквадратичної похибки в залежності від N:

.

Була врахована умова ортогональності (4.8). Так як, згідно (4.16) , то одержимо

, (4.20)

або

. (4.21)

Так як , то з (4.23) одержимо нерівність Бесселя, яка має місце для будь-якої ортогональної системи:

. (4.22)

Проаналізуємо рівняння (4.21). Так як всі члени ряду цього рівняння додатні, то при збільшенні числа членів ряду, тобто числа N, значення суми ряду збільшиться, а значення зменшиться. При N → ∞ середньоквадратична похибка → 0.

Таким чином, збільшення вимірності ортогонального базису дозволяє зробити середньоквадратичну похибку апроксимації як завгодно малою величиною.

4.6. Узагальнений ряд Фур’є

Граничний перехід при N → ∞ дозволяє одержати таке ортогональне розвинення сигналу S(t), яке забезпечує як завгодно точну апроксимацію

. (4.23)

При N → ∞ нерівність Бесселя переходить в рівність. Для здійснення цього граничного переходу довелось в скінчену упорядковану ортогональну систему функцій включити нескінчене число функцій цього класу. Упорядкованість ортогональної системи функцій означає її зліченість, тому в нескінчену систему включені всі функції цього класу, що відповідають умові ортогональності. Таку систему функцій називають повною.

Дамо дуже важливе визначення. Узагальнений ряд Фур’є – нескінчений ряд , який є ортогональним розвиненням кусково-неперервного сигналу S(t) за повною системою ортогональних функцій :

(4.24)

на заданому інтервалі [a, b], коефіцієнти якого визначаються згідно рівнянню:

• для дійсних функцій:

, (4.25)

• для комплексних функцій:

. (4.26)

Узагальнений ряд Фур’є забезпечує як завгодно точну апроксимацію сигналу S(t) з точки зору оцінки середньоквадратичної похибки ( → 0 при N → ∞), задовольняючи виконання рівняння (4.23). Але це ще не означає, що ряд сходиться до функції S(t). В загальному випадку .

Наведемо приклад, коли умова (4.23) виконується, а умова

(4.27)

не виконується. Умова (4.27) означає відсутність відхилення по модулю сигналу S(t) від його ортогонального розвинення .

На рис. 4.1. зображена апроксимація функції знаку при збільшенні числа членів ряду Фур’є. При t = 0 функція має розрив першого роду ( ). Цей розрив не тільки сповільнює збіжність ряду Фур’є, а поблизу точки розриву відхилення ∆ взагалі не зменшується при збільшенні N: , , Зате зменшується інтервал , за межами якого практично відсутнє відхилення ∆. Це пояснює зменшення середньоквадратичного відхилення , бо інтеграл (4.12) прямує до нуля при зменшенні до нуля інтервалу інтегрування [a, b], а відхилення ∆ залишається практично незмінним (воно становить близько 0,1). Це явище називається явищем Гіббса.

S(t)

100N₁

N₁

10N₁

∆

1

0

t

∆t₁

∆t₃

−1

Рис. 4.1.