Вариант 2 Изучение свободных затухающих колебаний пружинного маятника

1. Цель работы.

Изучить свободные затухающие колебания пружинного маятника, определить параметры колебательной системы и характеристики колебаний (жесткость пружины, коэффициент сопротивления, период колебаний, логарифмический декремент, коэффициент затухания), а также исследовать их зависимость от массы маятника.

2. Теоретические сведения.

Пружинным маятником называют систему, состоящую из небольшого тела массой m, подвешенного на вертикальной пружине жесткостью k, второй конец которой закреплен. Массой пружины пренебрегают (рис. 1).

В положении равновесия (x = 0) сила тяжести, действующая на шарик уравновешивается силой упругости:

, (1)

где - удлинение пружины в состоянии равновесия.

Рис. 1.

При смещении тела от положения равновесия сила упругости будет больше или меньше силу тяжести и их равнодействующая F будет направлена к положению равновесия, а ее модуль равен:

(2)

По закону Гука:

, (3)

где x – смещение системы от положения равновесия, - величина деформации пружины, знак "-" свидетельствует о том, что сила упругости по направлению противоположна деформации.

Подставим в формулу (2) выражения (3) и (1) и получим:

(4)

Равнодействующая сил упругости и тяжести пропорциональна смещению x и направлена к положению равновесия, то является возвращающей силой, под действием которой в системе происходят свободные колебания.

Кроме возвращающей силы F на систему действует сила сопротивления среды, в которой она находится:

, (5)

где r – коэффициент сопротивления, – скорость системы. Знак "-" свидетельствует о том, что сила сопротивления направлена против скорости.

Запишем закон динамики для движения тела:

(6)

Подставим в это уравнение выражение для скорости и ускорения и получим:

Разделим уравнение на m и введем обозначения:

(7)

, (8)

где r, m, k – параметры пружинного маятника.

Тогда окончательно дифференциальное уравнение затухающих колебаний будет иметь вид:

. (9)

Решением этого уравнения является функція

. (10)

Свободные колебания пружинного маятника является затухающими с амплитудой , и частотой ; где - собственная частота колебаний пружинного маятника.

По формуле связи между периодом и частотой получим выражение для периода колебаний пружинного маятника:

. (11)

Логарифмический декремент затухания, характеризующий уменьшение амплитуды за период колебаний, равен:

. (12)

Из уравнений (7), (11), (12) видно, что коэффициент затухания, период, логарифмический декремент затухания зависят от параметров системы.