10.2. Расчет температуры провода для тока, не изменяющегося по времени

Уравнение теплового баланса

(10.9)

где I – ток в проводе, А; R₀ — сопротивление при начальной температуре (по норме = 20 °С), Ом/м; α — температурный коэффициент сопротивления (принимают независимо от температуры), ⁰С^-1; t – текущее время, с; С — теплоемкость провода (принимают независимо от температуры), Вт·с/⁰С·м; k — теплоотдача со всей поверхности провода (принимают независимо от температуры), Вт/см; – температура перегрева провода, превышающая температуру окружающей среды в момент времени t, ^оC.

Отнесем это уравнение к длине провода, равной 1 м.

Теплоемкость провода С = сm, где с – удельная теплоемкость тела, Дж/(кг·К); m — масса тела, кг/м.

Первый член в уравнении (10.9) представляет собой количество выделенного в проводе тепла за время dt, второй — количество накопленного в проводе тепла и третий — количество отданного в окружающую среду.

Для решения дифференциального уравнения (10.9) разделим переменные. Для этого преобразуем это уравнение и приведем его к виду:

Преобразуем это уравнение

(10.10)

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (10.10). Можно взять неопределенные интегралы и тогда к решению добавить постоянный член, определить который можно из начальных условий. Можно принять, что в момент времени t=0 перегрев провода относительно температуры окружающей среды был равен . Проще всего взять определенный интеграл от левой и правой частей при изменении t от 0 до t и соответственно температуры — от до .

Тогда

(10.11)

Второй интеграл можно взять методом подстановки или заменить d на

Тогда выражение (10.11) преобразуется к виду:

(10.12)

Известно, что . Тогда выражение (10.12) можно представить в виде:

Заменим в этом выражении разность логарифмов логарифмом дроби

(10.13)

и после преобразования получим

Откуда

и

Разделим все члены этого выражения на (k — I²Rα):

(10.14)

Эту формулу использовали и ранее. В частности, она точно совпадает с приводимой А.В. Ворониным в 1971 г.

Если в расчете не учитывать увеличение сопротивления с увеличением температуры провода, то для этого случая можно получить выражение (t) из уравнения (10.14), приняв в нем α = 0:

(10.15)

При t = ∞

(10.16)

Это значение принято называть установившимся. Зависимость (t) имеет экспоненциальный характер

(10.17)

Здесь = I²R₀ , т.е. количество теплоты, отводимой во внешнюю среду, равно количеству теплоты, выделяемой в проводе при его неизменном сопротивлении. Это положение и определяет понятие постоянной времени нагревания тела.

Аналогичный характер имеет кривая (t), т.е. изменение по времени и для случая, когда учитывается, что сопротивление провода зависит от его температуры [см. формулу (10.14)]. Предположим, что в выражении (10.14) t = 0 (начальный момент времени), тогда = .С ростом t растет , а кривая (t) теперь уже зависит от значения α, различного для разных материалов проводов (рис. 10.1). При α = 0, т.е. без учета влияния температуры на значения сопротивлений провода, кривая имеет вид 1 (см. рис. 10.1). С ростом α до значений α₂ и α₃ растут значения и (кривые 2 и З, см. рис. 10.1).

Если последовательно рассматривать варианты, отличающиеся друг от друга токами, то для одного и того же начального сопротивления R₀ и α будем получать аналогичные семейства кривых. Каждому току нагрузки I_н будет соответствовать некоторая установившаяся температура (рис. 10.2).

Предположим, что в уравнении (10.14) t = ∞, тогда установившееся значение

(10.18)

Так будет продолжаться до тех пор, пока с ростом тока нагрузки знаменатель уравнения (10.14) не приблизится к нулю при

(10.19)