3. Методы отыскания экстремумов функции одной переменной

3.1. Необходимые и достаточные условия экстремума. Аналитический метод отыскания экстремумов

Рассмотренная нами задача коррекции линейных искаже­ний канала связи свелась, как и многие другие практические задачи, к отысканию экстремума функции многих перемен­ных (в данном случае - ). Для того, что­бы находить такие экстремумы, обратимся предварительно к оптимизации, т. е. отысканию максимумов и минимумов, функции одной переменной , (читается: принад­лежит ). Здесь — область определения функции . Часто эта область является интервалом: или от­резком: .

Для определенности будем говорить не об экстремумах вообще, т. е. о максимумах и минимумах, а, главным обра­зом, о максимумах. Все сказанное о максимумах, однако, можно будет очевидным образом переформулировать для случая минимума.

Определение 3.1. Точка доставляет глобальный максимум функции на множестве точек , если и для всех (рис. 3.1,а).

Определение 3.2. Точка доставляет строгий гло­бальный максимум функции на множестве точек , если и для всех , (рис. 3.1,б).

Часто оказывается полезным понятие локального максимума.

Определение 3.3. Точка доставляет локальный максимум функции на множестве , если при некотором достаточно малом числе для всех , , удовлетворяющих условию выполнено неравенство .

Если последнее неравенство является строгим, то говорят о строгом локальном максимуме.

Все определения для минимума получаются заменой зна­ка на обратный в приведенных неравенствах для значений функций.

Понятие локального экстремума иллюстрирует рис. 3.2, на котором точки соответствуют локальным максимумам, а точки - локальным минимумам. Точка является одновременно координатой глобального минимума, а точка - глобального максимума. За исключением точки , все указанные экстремумы являются строгими.

Замечание 3.1. Ясно, что не всякий локальный макси­мум (минимум) является одновременно глобальным. Вместе с тем, справедливо и такое утверждение: не всякий глобаль­ный максимум (минимум) можно считать также и локаль­ным. Действительно, если, например, глобально максималь­ное значение функции достигается на правом краю от­резка (рис. 3.3), то точку неверно рассматривать как координату локального экстремума, ибо ее нельзя окру­жить - окрестностью (интервалом ), целиком принадлежащей области определения , как бы мало ни было положительное число .

Сформулируем необходимое условие, которое должно вы­полняться в точках локального экстремума. Будем предпола­гать, что в окрестности экстремума функция имеет не­прерывные производные до второго порядка включительно. Хорошо известный результат [3, 4] формулируется следующим образом.

Теорема 3.1. Для того, чтобы функция , определен­ная на вещественной оси, имела безусловный локальный экстремум в точке , необходимо выполнение условия

. (3.1)

Точки области определения , удовлетворяющие уравне­нию (3.1), принято называть стационарными.

Приведем геометрическую интерпретацию теоремы 3.1. Прежде всего напомним, что производная функции в произвольно выбранной точке совпадает с тангенсом угла наклона касательной к , построенной в этой точке (рис. 3.4), т. е.

.

В точке максимума касательная параллельна оси абсцисс и угол , а вместе с ним и производная равны нулю.

Рассмотрим теперь функцию, показанную на рис. 3.5. В точках выполняется условие (3.1). Видно, что наименьшего значения на интервале

достигает в точке (глобальный минимум), а наибольшего значе­ния — в точке (глобальный максимум). Точка является точкой локального минимума, а точка - локального мак­симума. В точке же не достигается ни минимум, ни мак­симум. Слева и справа от точки характер изменения функ­ции одинаков (в данном случае она возрастает). Такую точ­ку называют точкой перегиба. Как видно, она отличается от экстремальных точек именно этим свойством — одина­ковым характером изменения функции слева и справа от этой точки (действительно, левее точки максимума функция воз­растает, правее — убывает, в точке минимума наблюдается обратное явление).

Важный вывод из сказанного заключается в том, что, хотя каждая точка локального экстремума является стацио­нарной, не все стационарные точки доставляют экстремум исследуемой функции. Для нахождения истинно экстремальных точек следует стационарные точки, т.е. корни уравнения (3.1), подвергнуть дополнительной проверке. Эта проверка может быть выполнена на основе следующего достаточного условия экстремума.

Теорема 3.2. Для того, чтобы функция имела в ста­ционарной точке локальный минимум (максимум), достаточно, чтобы ее вторая производная была в точке положи­тельна (отрицательна):

(3.2)

Доказательство этой теоремы можно найти в курсах матема­тического анализа [3, 4].

Таким образом, для отыскания локальных максимумов функции следует найти все вещественные корни урав­нения (3.1) и отобрать среди них те, что задают второй про­изводной отрицательный знак. Аналогичным образом, для на­хождения локальных минимумов должны быть отобраны корни уравнения (3.1), задающие знак «плюс» второй произ­водной.

Пример. Найдем величину сопротивления нагрузки , при которой источник с ЭДС и внутренним сопротивлением от­дает максимальную мощность нагруз­ке (рис. 3.6).

Мощность на нагрузочном сопротивлении , выделяемая током , равна

(3.3)

Необходимое условие экстремума функции (3.3) имеет. в соответствии с теоремой 3.1, вид

,

откуда находим единственную стационарную точку

.

Убедимся, опираясь на знак второй производной функ­ции , что эта точка действительно доставляет максимум функции (3.3):

.

Мы проверили, таким образом, известное правило, сог­ласно которому максимальная отдача мощности от генератора в нагрузку происходит при равенстве внутреннего сопротивления генератора сопротивлению нагрузки. В силу этого правила максимально возможный КПД по мощности со­ставляет 50%.