Операции над множествами

Пересечение множеств A и B, обозначаемое A B, – это множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат обоим множествам A и B.

и .

Например, если A={1,2,3} и B={2,3,4}, то A B={2,3}. В соответствии с определением, A B A и A B B, причем, A B является в определенном смысле наибольшим множеством, обладающим этими свойствами: если C A и C B, то C A B. Если С={x: x имеет рост выше 180 см} и D={x: x любит играть в шахматы}, тогда ={x: x имеет рост выше 180 см и любит играть в шахматы}.

Далее, A B=B тогда и только тогда, когда B A. Если множества A и B не имеют общих элементов, их пересечение пусто, A B=∅; в этом случае говорят, что множества A и B не пересекаются.

Пересечение множеств А и В называется также их произведением и обозначается .

Объединение множеств A и B, обозначаемое как A B, – это множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B. Это определение равносильно следующему: или . Например, если A={1,2,3} и B={2,3,4}, то A B={1,2,3,4}. В соответствии с определением A A B и B A B, причем A B является наименьшим множеством, обладающим этими свойствами: если A C и B C, то A B C.

Операции пересечения и объединения можно обобщить на случай произвольного индексированного семейства множеств.

Разностью множеств называется множество всех тех, и только тех элементов А, которые не содержатся в В. Или что то же самое:

и .

Например, , , .

Симметрическая разность множеств А и В, обозначаемая , есть множество .

Например, если А={1,2,4,6,7}, В={2,3,4,5,6}, то А\В={1,7}, а ={1,3,5,7}.

Симметрическая разность состоит из тех элементов, которые принадлежат в точности одному из двух множеств А или В. Если А={x: x играет в теннис}, а В={x: x играет в гольф}, то А\В={x: x играет в теннис, но не играет в гольф}, ={x: x играет только в теннис или играет только в гольф}.

Симметрическая разность называется иначе кольцевой суммой . Из определения симметрической разности вытекает равенство, связывающее её с ранее введенными операциями: .

Например, если A={1,2,3} и B={2,3,4}, то A\B={1}. В соответствии с определением A\B A и (A\B) B= , причем A\B является в определенном смысле наибольшим множеством, обладающим этими свойствами: если C A и C B= , то C⊂A\B.

Дополнение множества А, обозначаемое , - это множество элементов универсума, которые не принадлежат А. Следовательно, и .

Если U- множество положительных чисел, а A={2,4,6,8,…}- множество всех положительных четных чисел, то ={1,3,5,7,…}- множество всех положительных нечетных чисел. Если А={x: x – любитель научной фантастики}, тогда ={x: x – не любит научную фантастику}.

Декартовым (прямым) произведением множеств А и В называется множество , состоящее из всех упорядоченных пар элементов, в которых первый элемент принадлежит А, а второй принадлежит В, т.е. .

Упорядоченная пара – это одно из исходных, неопределяемых понятий. Интуитивно это понятие определяется как совокупность, состоящая из двух элементов a и b, расположенных в определенном порядке. Две упорядоченные пары (a,b) и (c,d) называются равными, если a=c и b=d.

Если множество состоит из n элементов: А={a₁, a₂, …, a_n}, то элементы a₁, a₂, …, a_n называются компонентами или координатами n-ки. Упорядоченная n-ка называется также кортежем из элементов a₁, a₂, …, a_n.

Координаты точек на плоскости – это упорядоченная пара чисел, координаты точки в пространстве – упорядоченная тройка чисел, кортеж автомобилей при сопровождении официального лица или очередь их желающих посетить выставку - это также примеры упорядоченных наборов элементов.