Операция двоичного сложения. Многочлены Жегалкина
Представление
полинома Жегалкина в каноническом
виде. Представление
булевой функции над базисом
называется каноническим
полиномом (многочленом) Жегалкина.
Алгебра
называется алгеброй
Жегалкина.
Российский математик Жегалкин И.И.
(1869-1947) предложил логическую связь,
отраженную в таблице 15, называть суммой
х и у и обозначать
.
Таблица 15
х |
у |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
В алгебре высказываний сумма истинна тогда и только тогда, когда истинно только одно составляющее сложного высказывания.
Можно также
провести аналогию между операцией
сложения по mod
2
и операцией двоичного сложения.
Действительно, 0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=(1)0, т.е. операция двоичного сложения в пределах последнего двоичного порядка имеет ту же последовательность символов, что и сумма по модулю два. Поэтому операция М2 имеет особое значение в схемах контроля и исправления ошибок. Если один из аргументов из-за неисправности в схеме исказится, то и значение функции изменится на противоположное.
Число полиномов
Жегалкина от n
переменных
составляет
,
т.е. равно числу булевых функций от тех
же переменных.
Теорема (Жегалкин И.И.) Всякая булева функция единственным образом представима в виде полинома Жегалкина.
Единственность понимается с точностью до порядка слагаемых в сумме и порядка сомножителей в конъюнкциях.
Представление полинома Жегалкина в каноническом виде выглядит следующим образом:
где
-
сложение по модулю два; знак (∙) обозначает
конъюнкцию;
Канонический полином Жегалкина от двух переменных имеет вид:
от трех переменных:
Любой полином
Жегалкина может быть приведен к
каноническому виду.
Пример14. Привести многочлен Жегалкина к каноническому виду.
т.е.
Некоторые методы перехода от булевых функций к полиному Жегалкина
Указанная выше единственность представления булевой функции полиномом Жегалкина позволяет применять разнообразные методы построения соответствующих данной функции полиномиальных выражений, заботясь лишь о том, чтобы результирующий полином был приведенным, т.е. не содержал одинаковых сомножителей в конъюнкциях и одинаковых слагаемых. Ниже приводятся некоторые из них:
1. Метод, базирующийся на эквивалентном преобразовании формул заключается в следующем:
- представить
функцию
формулой над множеством связок
и произвести эквивалентные преобразования,
использую соотношения:
Здесь a, b, c обозначают как переменную, так и формулы.
Пример 15.
Привести к полиному Жегалкина функцию
2. Достаточно часто используется метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим его на примере.
Пример 16.
Пусть
.
Использую формулу полинома Жегалкина
для двух переменных и придавая х,
у возможные
значения, выпишем систему уравнений
для коэффициентов:
Следовательно,
,
т.е. мы получим тот же полином Жегалкина,
что и в примере 15.
3. Переход от функции, представленной в виде СДНФ, к полиному Жегалкина.
При переходе от
булевой функции, представленной в СДНФ,
можно заменить знак
на знак
,
а
на
,
а затем привести полученное выражение
к такому виду, чтобы в нем не было
одинаковых сомножителей в конъюнкциях
и одинаковых слагаемых.
Пример
17. Перейти
от СДНФ булевой функции
к полиному Жегалкина в каноническом
виде.
1. Построим для таблицу истинности.
Таблица 16
х |
у |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2. Найдем СДНФ:
3. Заменив
на
,
на
и
знак
на знак
получим:
Проверим правильность построения полинома Жегалкина по таблице истинности
Таблица 17
х |
у |
ху |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Т.к. итоговые столбцы таблиц 16 и 17 совпадают, то преобразование произведено верно.
Приведем полученный полином Жегалкина к каноническому виду:
Имеются и другие методы перехода от булевой функции к полиному Жегалкина.
Используя любой из методов перехода можно представить каждую булеву функцию полиномом Жегалкина.
Ниже приведено представление булевых функций от двух переменных полиномами Жегалкина.
В справедливости вышеприведенных соотношений следует убедиться самостоятельно, используя различные методы перехода от булевой функции к полиному Жегалкина, а затем произвести проверку путем построения таблицы истинности для левой и правой части формул.