Законы алгебры логики
Ключом к решению примеров на равносильные преобразования и упрощение формул являются основные равносильности булевой алгебры. Успешное решение примеров зависит от умелого, эффективного применения следующих равносильностей:
1)
закон
двойного отрицания
2
)
3)
законы нуля и единицы
4)
5)
6)
законы коммутативности
7)
8
)
законы ассоциативности
9)
1
0)
законы дистрибутивности
11)
1
2)
законы идемпотентности
13)
14)
закон
противоречия
15)
закон
исключенного третьего
1
6)
законы поглощения
17)
1
8)
законы де Моргана
19)
20)
21)
Равносильные преобразования
Первым шагом при решении примеров на эквивалентные преобразования является переход к булевым операциям с помощью формул:
1)
2)
3)
=
4)
=
5)
=
В справедливости вышеприведенных формул студентам предлагается убедиться самостоятельно путем построения таблиц истинности.
Следует иметь в виду, что буквы, использованные при записи основных равносильностей, могут означать как символы высказывательных переменных и константы, так и формулы алгебры высказываний, т.е. основная равносильность означает, в частности, что:
Полезными при решении примеров на упрощение формул являются законы полупоглощения:
Пример 4. С
помощью равносильных преобразований
упростить формулу
переход к
булевым операциям
закон де Моргана
и дистрибутивности
закон двойного
отрицания
закон поглощения
Проверить правильность преобразований по таблицам истинности следует самостоятельно.
Тема 1.3 Функции алгебры логики Функции алгебры логики
Понятие булевой
функции, способы ее задания.
Функция
,
определенная на множестве
и принимающая значения из множества
{0,1} называется функцией алгебры логики
или булевой функцией. Набор символов
переменных (х1,
... , х2)
обозначается через
или
,
а множество тех же символов переменных
- через xn.
Множество всех булевых функций, зависящих
от переменных х1,
... , хn,
обозначается через Р2(хn).
Обычно полагают, что
.
Булева функция
,
принимающая значение 1 (соответственно
0) на всех наборах нулей и единиц:
,
(соответственно
)
называется константой 1 (константой
0). Константы являются нуль – местными
булевыми функциями.
Булева функция
полностью определяется своей таблицей
истинности. В каждой строке таблицы
задается набор значений переменных
и значение функции на этом наборе.
Если булева функция
и формула
имеют одну и ту же таблицу истинности,
то говорят, что формула
представляет функцию
.
Булеву функцию можно также однозначно представить перечислением всех наборов, на которых она принимает значение 0, либо перечислением всех наборов, на которых она принимает значение 1.
Пример 5. Значение функции задано вектором (x, y, z ) = 00010111. Соответствующая ей таблица истинности имеет вид:
Таблица 11
x |
y |
z |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Здесь (0, 0, 0)= (0, 0, 1)= (0, 1, 0)= (1, 0, 0)=0
или (0, 1, 1) = (1, 0, 1) = (1, 1, 0) = (1, 1, 1)=1.
Если задать либо первый, либо второй набор f (x, y, z), то функция будет задана однозначно.
Булеву функцию можно задать и с помощью единичного n – мерного куба. В связи с введением нового понятия следует привести несколько определений.
Набор
,
где
,
называется булевым или двоичным набором
(вектором).
Элементы набора часто называют
компонентами
или координатами.
Кратко набор
обозначают через
или
.
Число n
называют длиной набора
.
Весом
набора называют число координат, равных
1.
Соседними называют векторы, различающиеся только в одной координате.
Противоположными – векторы, отличающиеся во всех координатах.
Множество двоичных
наборов длины n
образует n
– мерный булев (или двоичный) куб.
который называют также единичным
n
–
мерным
кубом
и обозначают Вn
или
.
Наборы
называют вершинами
куба Вn
. Каждой
вершине n
– мерного единичного куба можно
приписать конкретное значение 0 или 1,
которое принимает булева функция при
соответствующем наборе аргументов
(векторов
).
Если значение функции равно 0, то точка
не рисуется (выкалывается). Если же
значение функции равно 1, то точка
рисуется – выделяется полужирно. Такой
n
– мерный куб будет однозначно задавать
любую булеву функцию
.
Например, для двух переменных
геометрическая интерпретация булевой
функции будет на плоскости иметь вид
квадрата или «двумерного куба» (рис.
2а), а для трех переменных – трехмерного
куба – куба в пространстве (рис. 2б).
Рис. 2а
Булевы функции
одной и двух переменных.
Всего
существует
различных
булевых функций от n
переменных.
При n=1 существует четыре различные булевы функции, при n=2 – 16 булевых функций. Таблицы истинности булевых функций одной или двух переменных приведенных в таблице 12 и в таблице 13.
Таблица 12
-
x
1
2
3
4
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
Функции 1 и 4 называются соответственно (тождественным) нулем и (тождественной) единицей.
Функция 2 называется тождественной функцией и обозначается через х.
Функция
3
называется отрицанием х, обозначается
.
Таблица 13
x |
y |
1 0 |
2 |
3 |
4 x |
5 |
6 y |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
8 |
|
10 ~ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15
│ |
16 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
9
