Кванторы

Функциональная природа предиката влечет за собой введение ещё одного понятия – квантора. (quantum – от лат. «сколько») Кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции в случае конечных и бесконечных областей.

Квантор общности (все, всякий, каждый, любой (all – «всякий»)). Соответствующие ему словесное выражение звучит так:

«Для всякого x Р(x) истинно». Вхождение переменной в формулу может быть связанным, если переменная расположена либо непосредственно после знака квантора, либо в области действия квантора, после которого стоит переменная. Все прочие вхождения – свободные, переход от P(x) к x(Px) или (Px) называется связыванием переменной x или навешиванием квантора на переменную x (или на предикат P) или квантификацией переменной х. Переменная, на которую навешивается квантор, называется связанной, несвязанная квантования переменная называется свободной.

Например, переменная x в предикате Р(x) называется свободной ( x – любое из М), в высказывании Р(x) переменную x называют связанной переменной.

Справедлива равносильность P(x₁) P(x₂) … P(x_n),

P(x) – предикат, определенный на множестве М={х₁,х₂...х₄}

Квантор существования (exist – «существовать»). Словесное выражение, соответствующее ему, звучит так: “Существует x, при котором Р(x) истинно”. Высказывание xР(x) уже не зависит от x, переменная x связана квантором .

Справедлива равносильность:

xP(x) = P(x₁) P(x₂) … P(x_n), где

P(x) - предикат, определенный на множестве М={x₁,x₂…x_n}.

Квантор общности и квантор существования называют двойственными, иногда используется обозначение квантора ! – «существует, и притом, только один».

Ясно, что высказывание xP(x) истинно только в том единственном случае, когда Р(x) - тождественно истинный предикат, а высказывание ложно только тогда, когда Р(x) - тождественно ложный предикат.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату P(x,y) одноместный предикат xP(x,y) или xP(x,y), зависящий от у и не зависящий от х.

К двухместному предикату можно применить кванторные операции по обеим переменным. Тогда получим восемь высказываний:

1. P(x,y); 2. P(x,y);

3. P(x,y); 4. P(x,y);

5. P(x,y); 6. P(x,y);

7. P(x,y); 8. P(x,y)

Пример 3. Рассмотреть возможные варианты навешивания кванторов на предикат P(x,y) – “x делится на y”, определенный на множестве натуральных чисел (без нуля) N. Дать словесные формулировки полученных высказываний и определить их истинность.

Операция навешивания кванторов приводит к следующим формулам:

- высказывания “для любых двух натуральных чисел имеет место делимость одного на другое” (или 1) все натуральные числа делятся на любое натуральное число; 2) любое натуральное число является делителем для любого натурального числа) ложные;

- высказывания “существуют такие два натуральных числа, что первое делится на второе” (1. «существует такое натуральное число x, которое делится на какое-то число y»; 2. «существует такое натуральное число y, которое является делителем какого-то натурального числа x») истинны;

- высказывание “существует натуральное число, которое делится на любое натуральное”, ложное;

- высказывание “для всякого натурального числа найдется такое натуральное, которое делится на первое” (или для всякого натурального числа найдется свое делимое), истинное;

- высказывание “для всякого натурального x существует такое натуральное число y, на которое оно делится” (или «для всякого натурального числа найдется свой делитель»), истинное;

- высказывание “существует натуральное число, которое является делителем всякого натурального числа”, истинное (таким делителем является единица).

В общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания и его логическое значение, т.е. например, высказывания P(x,y) и P(x,y) различны.

Пусть предикат P(x,y) означает, что x является матерью для y, тогда P(x,y) означает, что у каждого человека есть мать – истинное утверждение. P(x,y) означает, что существует мать всех людей. Истинность этого утверждения зависит от множества значений, которые могут принимать y: если это множество братьев и сестер, то оно истинно, в противном случае оно ложно. Таким образом, перестановка кванторов всеобщности и существования может изменить сам смысл и значение выражения.

Квантор существования можно выразить через квантор всеобщности применительно к предикату P(x), xP(x) =

Квантор общности можно выразить с помощью квантора существования.

Пусть F₁(x)= yP(x,y), тогда yP(x,y)= .

Операции над предикатами. Все формулы логики высказываний являются частным случаем логики предикатов. Все операции логики высказываний переносятся в логику предикатов.

Отрицание предиката. Чтобы образовать отрицание предиката, начинающегося одним из знаков или , можно:

1. либо поставить знак перед всем высказыванием

2. либо

а) заменить начальный знак ( или ) на противоположный

б) поставить знак перед остальной частью предиката

Пример 4.

а) x – кошка, P(x) – у x есть усы. Усы есть у всех кошек xP(x).

Найдется кошка без усов x .

Не бывает кошек с усами; или ;

б) x – человек, P(x) – x высокий, Q(x) – x толстый

Любой человек высокий и толстый

Найдется некто короткий и толстый

Нет никого высокого и худого ,

Найдется некто короткий и худой ,

Таким образом, отрицанием предиката P(x) называется новый предикат , который принимает значение “истина” при всех значениях , при которых P(x) принимает значения “ложь” и наоборот. Здесь очевидно, I =M\I_p.

Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x) Q(x), который принимает значения “истина“ только при тех значениях x М, при которых каждый из предикатов принимает значения “истина“, и “ложь“ во всех остальных случаях. Область определения истинности предиката P(x) Q(x) – это J_p J_Q.

Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x) Q(x), который принимает значения “ложь” при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значения “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях. Ясно, что I_Q I_P.

Импликацией P(x) и Q(x) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно P(x) принимает значения “истина”, а Q(x) – значение ложь, и принимает истинное значение во всех остальных случаях.

Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) будет предикат , который принимает значение «истина» только тогда, когда P(x) и Q(x) принимают одинаковые значения. Эти же правила справедливы и в случае, если рассматриваются не только одноместные предикаты.

Пример 5. На множестве М={3,4,5,6,7,8} заданы два предиката P(x): “x – простое число“, Q(x): “x – нечетное число“. Составить их таблицы истинности. Равносильны ли предикаты P(x) и Q(x) на множествах L={2,3,4,5,6,7,8}, К={3,4,5,6,7,8,9}?

Таблица 2

М	3	4	5	6	7	8
P(x)	1	0	1	0	1	0
Q(x)	1	0	1	0	1	0

Очевидно, что Ip={3,5,7}, Iq={3,5,7}. Таким образом, на множестве М P(x)=Q(x) . На L и K предикаты не равносильны, ибо на множестве L, например, 2- число простое и четное, а на множестве К - число 9 – нечетное, но составное число.