Соотношение между высказываниями и соответствующими им множествами истинности

Мы рассмотрели такие множества истинности составных высказываний, которые образованы посредством связок V, Λ, ^. Все остальные связки можно определить через эти три основные и тем самым вывести, какие множества истинности им соответствуют. Например, известно, что импликация Х  Y эквивалента дизъюнкции . Поэтому множество истинности для Х  Y будет тем же, что и множество истинности для , т. е. оно будет иметь вид .

На диаграмме Эйлера-Венна выделенная область показывает множество истинности этого высказывания (рис.5).

Рис. 5

Отметим, что незаштрихованная область на этой диаграмме показывает множество , представляющее собой множество истинности высказывания . Поэтому заштрихованная область будет множеством , которое является множеством истинности высказывания . Таким образом, мы установили, что высказывания , , эквивалентны. Вообще, два высказывания эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же множества истинности.

Заметим, что диаграммы Эйлер – Венна помогают обнаруживать отношения между высказываниями.

Предположим теперь, что X – логически истинное высказывание. Что представляет собой его множество истинности? Поскольку высказывание X логически истинно тогда и только тогда, когда оно истинно в каждом логически возможном случае, множеством истинности для высказывания X должно быть универсальное множество U.

Подобным же образом, если высказывание X логически ложно, то оно ложно в каждом логически возможном случае, и поэтому его множеством истинности будет пустое множество .

Рассмотрим отношение следствия. Напомним, что из X следует Y тогда и только тогда, когда импликация логически истинна. Но высказывание тогда и только тогда логически истинно, когда его множество истинности совпадает с U, т.е. и . Но если пусто, то В включает в себя A. Отношение включения обозначается, как мы отмечали, и читается «A является подмножеством В». Таким образом, высказывание логически истинно тогда и только тогда, когда .

Каждому высказыванию соответствует его множество истинности, каждой логической связке соответствует операции над множеством. Каждому отношению между высказываниями соответствует отношение между множествами истинности. Множествами истинности высказываний

; ; и

служат соответственно:

; ; и .

Высказывание X логически истинно, если , и логически ложно, если . Высказывание X и Y эквивалентны тогда и только тогда, когда ; из Х следует Y тогда и только тогда, когда .

Тема 2.2 Отображения Бинарные отношения

В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться с понятием «отношения». Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-то одного признака R у элементов множества M (например, «быть красным» на множестве шаров в урне).

Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимо

связей, которыми характеризуются пары элементов во множестве M.

Например, на множестве людей могут быть заданы следующие отношения: «жить в одном городе», «x работает под руководством y», «быть сыном», «быть старше» и т.д. на множестве чисел: «число a больше числа b», «число a является делителем числа b», «числа a и b дают одинаковый остаток при делении на 3».

В прямом произведении , где A - множество студентов какого-либо вуза, B- множество изучаемых предметов, можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (a, b), обладающих свойством: «студент a изучает предмет b». Построенное подмножество отражает отношение «изучает», возникающее между множествами студентов и предметов. Число примеров можно продолжить

Отношения между двумя объектами являются предметом исследования экономики, географии, биологии, физики, лингвистики, математики и других наук.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отношения.

Бинарным отношением между множествами A и B называется подмножество R прямого произведения . В том случае, когда можно просто говорить об отношении R на A.

Пример 1. Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие бинарным отношениям R₁ и R₂, заданными на множествах A и : , . Подмножество R₁ состоит из пар: . Подмножество .

Область определения R на есть множество всех элементов из A таких, что для некоторых элементов имеем . Иными словами область определения R есть множество всех первых координат упорядоченных пар из R.

Множество значений отношения R на есть множество всех таких, что для некоторых . Другими словами множество значений R есть множество всех вторых координат упорядоченных пар из R.

В примере 1 для R₁ область определения: , множество значений - . Для R₂ область определения: , множество значений: .

Во многих случаях удобно использовать графическое изображение бинарного отношения. Оно осуществляется двумя способами: с помощью точек на плоскости и с помощью стрелок.

В первом случае выбирают две взаимно перпендикулярные линии в качестве горизонтальной и вертикальной осей. На горизонтальной оси откладывают элементы множества A и через каждую точку проводят вертикальную линию. На вертикальной оси откладывают элементы множества B, через каждую точку проводят горизонтальную линию. Точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий изображают элементы прямого произведения .

Пример 5. Пусть , .

Пусть R₁ задано на перечислением упорядоченных пар: . Бинарное отношение R₂ на множестве задано с помощью правила: упорядочена пара , если a делится на b. Тогда R₂ состоит из пар: .

Бинарные отношения, из примера 2, R₁ и R₂ изображены графически на рис. 6 и рис.7.

3
1
1	1	2	3	4	5	6	7		1	2	3	4	5	6	7

Рис. 6 Рис. 7

Чтобы изобразить бинарное отношение с помощью стрелок, слева изображаются точками элементы множества A, справа - множества B. Для каждой пары (a, b), содержащейся в бинарном отношении R, проводится стрелка от a к b, . Графическое изображение бинарного отношения R₁, приведенного в примере 6, показано на рис.8.

1
2
3						1
4
5						2
6						3
7
Рис.8

Бинарные отношения на конечных множествах могут быть заданы матрицами. Предположим, что задано бинарное отношение R между множествами A и B. , .

Строки матрицы нумеруются элементами множества A, а столбцы – элементами множества B. Ячейку матрицы, стоящую на пересечении i - ой строки и j - ого столбца принято обозначать через C_ij, а заполняется она следующим образом:

Полученная матрица будет иметь размер .

Пример 6. Пусть задано множество . На множестве задайте списком и матрицей отношение R – «быть строго меньше».

Отношение R как множество содержит все пары элементов (a, b) из M такие, что .

.

Тогда

Матрица отношения, построенная по вышеуказанным правилам, имеет следующий вид:

Свойства бинарных отношений:

1. Бинарное отношение R на множестве называется рефлексивным, если для любого элемента a из M пара (a, a) принадлежит R, т.е. имеет место для любого a из M:

.

Отношения «жить в одном городе», «учиться в одном вузе», «быть не больше» являются рефлексивными.

2. Бинарное отношение называется антирефлексивным, если оно не обладает свойством рефлексивности для любых a:

.

Например, «быть больше», «быть младше» - это антирефлексивные отношения.

3. Бинарное отношение R называется симметричным, если для любых элементов a и b из M из того, что пара (a, b) принадлежит R, , вытекает, что пара (b, a) принадлежит R, т.е.

.

Симметрична параллельность прямых, т.к. если // , то // . Симметрично отношение «быть равным» на любом множестве или «быть взаимнопростым на N».

Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R=R^-1

4. Если для несовпадающих элементов верно отношение , но ложно , то отношение антисимметрично. Можно сказать иначе:

и .

Антисимметричными являются отношения «быть больше», «быть делителем на N», «быть младше».

5. Бинарное отношение R называется транзитивным, если для любых трех элементов из того, что пары (a, b) и (b, c) принадлежат R, следует, что пара (a, c) принадлежит R:

и

Транзитивны отношения: «быть больше», «быть параллельным», «быть равным» и др.

6. Бинарное отношение R антитранзитивно, если оно не обладает свойством транзитивности.

Например, «быть перпендикулярным» на множестве прямых плоскости ( , , но неверно, что ).

Т.к. бинарное отношение может быть задано не только прямым перечислением пар, но и матрицей, то целесообразно выяснить, какими признаками характеризуется матрица отношения R, если оно: 1) рефлексивно, 2) антирефлексивно, 3)симметрично, 4) антисимметрично, 5) транзитивно.

Пусть R задано на , .

1. Если R рефлексивно, то для любого имеет место , т.е. оно выполняется для всех пар . В матрице этим парам соответствуют элементы C_ii. Они составляют главную диагональ. Следовательно, главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы.

2. R антирефлексивно, если ни для какого не выполняется . Из этого следует, что главная диагональ матрицы антирефлексивного отношения содержит только нули.

3. R симметрично, если для пары из следует , т.е. для любой пары отношение R либо выполняется в обе стороны, либо не выполняется вообще. Таким образом, если в матрице стоит единица на пересечении i - ой строки и j - ого столбца, т.е. C_ij =1, то она должна стоять и на пересечении j - ой строки и i - ого столбца, т.е. C_ji =1, и наоборот, если C_ji =1, то C_ij =1. Таким образом, матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

4. R антисимметрично, если из и следует: . Это означает, что в соответствующей матрице ни для каких i, j не выполняется C_ij = C_ji =1. Таким образом, в матрице антисимметричного отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали.

5. Бинарное отношение R на непустом множестве A называется транзитивным если и . Для транзитивности отношения R необходимо и достаточно, чтобы ,

Пример.

Если 2<3 и 3<4 , то 2<4 Транзитивны отношения «быть параллельным», «быть больше», «быть равным».

Пример

, т.е. R – транзитивно

Бинарное отношение R антитранзитивно, если для любых трех элементов не выполняется условие транзитивности на множестве прямых ( , но неверно, что ).

Рефлексивное, транзитивное и симметричное бинарное отношение R на множестве А называется эквивалентностью на А.

Вышеприведенное условие должно выполняться для любых элементов матрицы. И, наоборот, если в матрице R имеется хотя бы один элемент C_ij =1, для которого данное условие не выполняется, то R не транзитивно.

Замыкания отношений

Если отношение на множестве M не обладает тем или иным свойством, то его можно попытаться продолжить до отношения R^*, которое будет им обладать. Для этого необходимо присоединить некоторые упорядоченные пары к подмножеству . Исходное множество R будет подмножеством в R^*. В случае, если вновь построенное множество R^* будет минимальным среди всех расширений R с выделенным свойством, то оно будет являться замыканием R относительно данного свойства.

Пример 7. Пусть A . Отношение R на A задано упорядоченными парами: R . Отношение не рефлексивно, не симметрично и не транзитивно. Найдите соответствующие замыкания.

Замыкание относительно рефлексивности должно содержать все пары вида (a,a). Поэтому искомое замыкание имеет вид: R^* (добавленные пары отделены подчеркиванием).

В отношение R^* добавлены пары (3,3) и (5,5); пара (1,1) уже была в отношении R. Теперь имеются все пары вида (a,a): (1,1), (3,3), (5,5). Получено рефлексивное замыкание.

Замыкание по симметричности должно содержать все пары, симметричные исходным. Построение замыкания целесообразно свести в таблицу.

Таблица 2

№ п/п				Примечание
1	1,3	3,1	нет	Добавить пару (3,1) в отношение R
2	1,5	5,1	да	–
3	3,5	5,3	нет	Добавить пару (5,3) в отношение R

Как видно из таблице 2 в отношение R следует добавить две пары (3,1) и (5,3).

Замыкание по симметричности будет иметь вид R^* .

Чтобы выполнить замыкание по транзитивности, необходимо выполнить несколько шагов.

На первом этапе составляется таблица 3.

Таблица 3

№ п/п					Примечание
1	5,1	1,3	5,3	нет	добавить пару (5,3) в отношение R
2	3,5	5,1	3,1	нет	добавить пару (3,1) в отношение R
3	5,1	1,5	5,5	нет	добавить пару (5,5) в отношение R

Из анализа таблицы видно, что следует добавить пары (5,3), (3,1), (5,5) в отношение R. Полученное замыкание имеет вид: .

Второй этап. Из анализа видно, что возникло сочетание пар (3,1) и (1,3), поэтому отношение R^* должно содержать пару (3,3). Следовательно, .

Теперь все необходимые пары добавлены. Метод, приведенный выше, достаточно трудоемок и состоит в переборе практически всех пар.

Можно познакомиться с методом построения замыкания по транзитивности по матрице достижимости ориентированного графа. (учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»).

Замыкание по транзитивности имеет много приложений. Допустим, задан ориентированный граф, отражающий коммуникационную сеть. В этом случае замыкание по транзитивности позволяет определить, существует ли возможность переправить сообщение из одного места в другое.

Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы. Бинарное отношение R называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает тремя свойствами: рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью.

Например, отношение равенства является отношением эквивалентности. Действительно, пусть M – произвольное множество. Введем бинарное отношение . Т.к. для всякого a, то R рефлексивно. Так как из равенства следует, что для всех a и b, то R симметрично. Так как из того, что и следует, что для любых a, b, c, то R транзитивно.

Без доказательства приводятся еще некоторые примеры отношения эквивалентности: отношение «имеет тот же возраст» на множестве всех людей; «имеет один и тот же остаток при делении на 3» на множестве натуральных чисел. Можно привести и другие примеры. Все они наводят на мысль, что если на множестве задано отношение эквивалентности, то все его элементы можно разбить на непересекающиеся подмножества. Все элементы в любом из таких подмножеств эквивалентны друг другу.

Разбиением множества A называется совокупность непустых подмножеств A₁, A₂, …, A_n множества A, удовлетворяющая следующим требованиям:

1. 

2. 

Таким образом, отношение эквивалентности разбивает множество на непересекающиеся подмножества, которые называются классами эквивалентности.

Диаграмма Венна разбиения множества A на пять блоков (подмножеств) показана на рис.9.

Рис.9

Подмножества изображены не заходящими одно на другое, т.к. они не могут иметь общих элементов. Множество классов эквивалентности множества A называется фактор - множеством.