Признак сравнения рядов с неотрицательными членами

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами

, (1)

, (2)

Если для любого п, то из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2) и сумма ряда (2) не превосходит суммы ряда (1); из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.

Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительным членами.

Если существует предел , то при  < 1 ряд сходится, а при  > 1 – расходится. Если  = 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

. Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

. Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Признак Коши (радикальный признак)

Пусть дан ряд с неотрицательными членами. Если существует предел , то при q<1 ряд сходится, при q>1 ряд расходится, при q=1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример. Определить сходимость ряда .

, следовательно, ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда .

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю. Найдем .

Таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд с положительным членами, причем и f(x) – такая непрерывная монотонно убывающая функция, что f(п)=а_п. тогда данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Пример. Ряд сходится при >1 и расходится 1 т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится при >1 и расходится 1. Ряд называется обобщенным гармоническим рядом.

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.

Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

, где

Признак Лейбница

Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины u_i убывают и общий член стремится к нулю , то ряд сходится. При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам: 0 < S < u_n.

Теорема. Пусть даны знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

(1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

(2)

Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).