2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Этот метод является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.

Пример. Вычислить: ∫ (2x +3)⁵dx

Введем новую переменную t = 2x + 3, тогда dt = t′ ∙ dx = (2x +3)′ ∙dx = 2dx, откуда dx = . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 2x + 3 подставим t, вместо dx подставим ):

∫(2x +3)⁵dx = ∫ t⁵ ∙ = ∙∫ t⁵ dt = .

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 2x +3) и получим окончательный ответ:

∫(2x +3)⁵dx = = (2x +3)⁶ + С.

Пример. Вычислить:

Введем новую переменную t = 2+x³, тогда dt = (2+x³)′∙ dx = 3x²dx, откуда dx = . Подставим новую переменную в интеграл:

= = = ln +C = ln +C

Пример. Вычислить:

Введем новую переменную t = 5+e^x, dt = (5+e^x)′∙dx = e^x∙dx, dx = . Подставим новую переменную в интеграл:

= = = = = -

3. Интегрирование по частям

Этот способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu,

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: или

.

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Этот метод применяется, когда подынтегральная функция имеет вид: , где - это многочлен степени п, а является показательной, тригонометрической, обратной тригонометрической или логарифмической функцией.

1. Если - показательная или тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , ), то для того чтобы найти эти интегралы, нужно сделать замену и применить формулу интегрирования по частям n раз.

2. Если - логарифмическая или обратная тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , , , ) то для того, чтобы найти эти интегралы нужно сделать замену: , .

3. Интегралы вида , (a, b — числа) вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Пример. Вычислить .

Данный интеграл относится к 1 типу.

Положим , ; тогда , . Найдем . Подставим в формулу интегрирования по частям:

.

Пример. Вычислить .

Данный интеграл относится ко 2 типу

Положим , ; тогда , .

.

Пример. Вычислить

Данный интеграл относится ко 2 типу.

, , ,

=

Пример. Вычислить

Интеграл 1 типа. Имеем , ,

=

Пример. Вычислить

, , ,

=

Пример. Вычислить

, , ,

= =

.

Пример. Вычислить

Пример. Вычислить

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.