Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина _xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

.

Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначается:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

Пример. Найти частные производные функции .

, .

Пример. Найдем частные производные функции :

.

Полное приращение и полный дифференциал

Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где ₁ и ₂ – бесконечно малые функции при х  0 и у  0 соответственно.

Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Пример. Найти полный дифференциал функции

Тема 4.4. Интегральное исчисление функции одной переменной Понятие неопределенного интеграла

Для дифференцирования существует обратное действие – интегрирование: отыскание функции по известной производной.

Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F′(x) = f(x).

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то выражение F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом:

∫ f(x)dx.

При этом функцию f(x) называют подынтегральной функцией.

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Если F(x) - какая-нибудь первообразная для функции f(x), то

 f(x)dx = F(x) + C,

где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла:

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

( f(x)dx)′ = f(x)

2) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

 a∙f(x)dx=a∙ f(x)dx (a=const)

3) Интеграл от суммы (или разности) двух функций равен сумме (или разности) интегралов от этих функций, т.е.

 (f(x) ±g(x))dx =  f(x)dx ±  g(x)dx.

Таблица основных интегралов

1. , (n ≠ -1)

2. 

3. 

4. 

5. 

6. tg x + C

7. -ctg x+ C

8. ∫ tg x dx = -

9. ∫ ctg x dx =

10. 

11. 

12. arctg x +C

13. arctg

14. 

15. arcsin x + C

16. arcsin

17. 

18. 

19. 

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

‌

Пример. Вычислить ∫(4х³ – 15х² – 3)dx.

Для вычисления интеграла сначала воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла, а затем применим 1 табличный интеграл:

∫(4х³ – 15х² – 3)dx = 4∙ ∫ х³ dx - 15∙ ∫ x²dx -3∙ ∫dx = = x⁴ – 5x³ – 3x +C

Пример.

Пример. .

Пример. .

Пример. =

=

Пример. .

Пример. .

Пример.

.