- •Раздел 1 элементы аналитической геометрии
- •Тема 1.1. Векторы
- •Действия над векторами
- •Свойства векторов
- •Координаты вектора
- •Действия над векторами, заданными своими координатами
- •Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения:
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме
- •Тема 1.2. Прямая на плоскости Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой по точке и нормальному вектору
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Параллельность прямых
- •Перпендикулярность прямых
- •Тема 1.3. Кривые второго порядка Уравнение второй степени с двумя переменными определяет на плоскости кривую второго порядка и притом единственную. Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •Окружность
- •Каноническое уравнение окружности с центром о(a; b) и радиусом r.
- •Гипербола
- •Парабола
- •Раздел 2 элементы линейной алгебры
- •Тема 2.1. Матрицы и определители
- •Виды матриц
- •Равенство матриц
- •Транспонированная матрица
- •Действия с матрицами
- •Свойства операции умножения матриц
- •Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
- •Определители
- •Свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя
- •Вычисление определителей п-го порядка
- •Способы вычисления определителей:
- •Обратная матрица
- •Свойства обратных матриц
- •Ранг матрицы
- •Вычисление ранга матрицы
- •Идея практического метода вычисления ранга матрицы
- •Тема 2.2. Системы линейных уравнений
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Метод Крамера для решения систем линейных уравнений
- •Элементарные преобразования систем
- •Метод Гаусса
- •Раздел 3. Комплексные числа
- •Тема 3.1. Алгебраическая и геометрическая формы комплексного числа
- •Действия с комплексными числами в алгебраической форме
- •Геометрическая форма комплексного числа
- •Тема 3.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Действия с комплексными числами в тригонометрической форме
- •Показательная форма комплексного числа
- •Действия с комплексными числами в показательной форме
- •Раздел 4. Основы математического анализа
- •Тема 4.1 Теория пределов и непрерывность Числовые последовательности
- •Ограниченные и неограниченные последовательности
- •Монотонные последовательности
- •Число е
- •Предел функции в точке
- •Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
- •Основные теоремы о пределах
- •Бесконечно малые функции
- •Свойства бесконечно малых функций:
- •Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •Типы неопределенностей и методы их раскрытия
- •Неопределенность вида .
- •Неопределенность вида .
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •Свойства эквивалентных бесконечно малых
- •Замечательные пределы
- •Непрерывность функции в точке
- •Свойства непрерывных функций
- •Непрерывность некоторых элементарных функций
- •Точки разрыва и их классификация
- •Классификация точек разрыва
- •Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Тема 4.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Понятие производной функции
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Производная сложной функции
- •Табличные значения производных основных функций
- •Дифференциал функции
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Свойства дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей Правило Лопиталя
- •Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функции. Экстремумы
- •Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции
- •Исследование функций и построение графиков
- •Тема 4.3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Свойства непрерывных функций
- •Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
- •Полное приращение и полный дифференциал
- •Тема 4.4. Интегральное исчисление функции одной переменной Понятие неопределенного интеграла
- •Свойства неопределенного интеграла:
- •Методы интегрирования
- •1. Непосредственное интегрирование
- •2. Метод замены переменной (метод подстановки)
- •3. Интегрирование по частям
- •Интегрирование элементарных дробей
- •Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •Интеграл вида если функция r является нечетной относительно cosx.
- •Свойства определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения
- •Несобственные интегралы
- •Тема 4.5. Интегральное исчисление функций нескольких переменных Двойные интегралы
- •Условия существования двойного интеграла
- •Свойства двойного интеграла
- •Вычисление двойного интеграла
- •Геометрические приложения кратных интегралов
- •1) Вычисление площадей в декартовых координатах.
- •Тема 4.6. Дифференциальные уравнения
- •Свойства общего решения
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •Метод Бернулли
- •Метод Лагранжа
- •Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
- •Тема 4.7. Теория рядов Понятие числового ряда
- •Свойства рядов
- •Необходимые условия сходимости ряда
- •Ряды с неотрицательными членами
- •Признак сравнения рядов с неотрицательными членами
- •Признак Даламбера
- •Признак Коши (радикальный признак)
- •Интегральный признак Коши
- •Знакочередующиеся ряды
- •Признак Лейбница
- •Абсолютная и условная сходимость рядов
- •Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Свойства равномерно сходящихся рядов
- •1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
- •2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
- •3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
- •Степенные ряды
- •1) Интегрирование степенных рядов.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •Разложение функций в степенные ряды
- •Формула Маклорена
- •Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.
Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функции. Экстремумы
Теорема (необходимое условие возрастания функции) Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x) 0.
Теорема (достаточное условие возрастания функции) Если функция f(x) дифференцируема и на интервале (a; b) производная данной функции f′(x) положительна, то функция возрастает на этом интервале.
Теорема (необходимое условие убывания функции) Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неположительна, т.е. f(x) 0.
Теорема (достаточное условие убывания функции Если функция f(x) дифференцируема и на интервале (a; b) производная данной функции f′(x) отрицательна, то функция убывает на этом интервале.
Точка х0 из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Точка х0 из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x0).
Теорема (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х0 и точка х0 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
Теорема (I достаточное условие существования экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в самой точке x0.
Если при переходе через точку x0 производная f′(x) меняет знак с минуса на плюс, то точка x0 является точкой минимума.
Если при переходе через точку x0 производная f′(x) меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума.
Если при переходе через точку x0 производная f′(x) не меняет знак, то точка x0 не является экстремумом.
Теорема (II достаточное условие существования экстремума) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в самой точке x0, причем f(x0) = 0, а f(x0) ≠ 0, тогда функция f(x) в точке х = х0 имеет максимум, если f(x0)<0 и минимум, если f(x0)>0.
Критическими точками I рода функции называются точки, в которых первая производная функции равна нулю или не существует.
Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба.
График функции f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной к любой его точке.
График функции f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше касательной, проведенной к любой его точке.
Теорема (достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции). Если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и она положительна, то функция вогнута на этом интервале. Если же f′′(x) отрицательна на интервале (a; b), то функция выпукла на этом интервале.
Точка графика функции при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.
Теорема (достаточное условие существования точки перегиба) Если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и при переходе через точку х = x0 f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = x0 является точкой перегиба.
Критическими точками II рода функции называются точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует.