Тема 4.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Понятие производной функции

Рассмотрим функцию у = f(x) при х принадлежащему некоторому отрезку [a; b]. Возьмем произвольную точку х₀ из этого отрезка. Для любого значения аргумента х разность х-х₀ называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается Δх.

Таким образом, Δх = х – х₀.

Разность f(x) – f(x₀) называется приращением функции в точке х₀ и обозначается Δf(x₀).

Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции Δf(x₀) к приращению аргумента Δх при Δх → 0 (если этот предел существует).

Таким образом, = =

Если этот предел конечный, то функция называется дифференцируемой в точке x_o.

Производная обозначается: y′ или f′(x) или .

Геометрический и физический смысл производной

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

у

f(x)

f(x₀ +x) P

f

f(x₀) M

  x

0 x₀ x₀ + x x

Геометрический смысл производной заключается в следующем: производная функции равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x_0.

Фактически производная функции показывает скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной: мгновенная скорость прямолинейного движения есть первая производная от пути по времени.

Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Производная сложной функции

Пусть y = f(u) где u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f, т.е. задана сложная функция.

Если функция y = f(u) дифференцируема по u, а функция u = g(x) дифференцируема по х, то производная сложной функции по независимой переменной х определяется равенством:

Пусть с - постоянное число, u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с)' = 0, (cu)' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то у′_х = у′_u∙ u′_x.

Табличные значения производных основных функций

1. (uⁿ)' = n  u^n1  u' (n  R)

2. (a^u)' = a^u  lna u'

3. (e^u)' = e^u  u'

4. (log_a u)' =  u'

5. (ln u)' =  u'

6. (sin u)' = cos u  u'

7. (cos u)' = - sin u u'

8. (tg u)' =  u'

9. (ctg u)' = -  u'

10. (arcsin u)' =  u'

11. (arccos u)' = -  u'

12. (arctg u)' =  u'

13. (arcctg u)' = -  u'

Пример. Найти производную функции у = х⁴ + 2х² – 1

Для вычисления данной производной воспользуемся 1 табличным значением:

у′ = 4х^4-1 + 2∙2х = 4х³ +4х

Пример. Найти производную функции у = 12х ∙ (х² – 8)

Для вычисления производной воспользуемся сначала 3 правилом дифференцирования (u = 12x, v = х² – 8), затем 1 табличным значением:

у′ = (12х)′ ∙ (х² – 8) + 12х ∙ (х² – 8)′ = 12 ∙ (х - 8) + 12х ∙2х = 12х – 96 + 24х²

Пример. Найти производную функции у = е^3-4х

Данная функция является сложной, ее производная находится по 5 правилу дифференцирования. Обозначим u = 3 - 4х, тогда у = е^u. Далее воспользовавшись 3 табличным значением производной, получим:

у′ = (e^u)' = e^u  u' = е^3-4х ∙ (3 - 4х)′ = е^3-4х ∙ (-4) = - 4 е^3-4х

Пример. Вычислить производную функции: у =

Данная производная вычисляется по 4 правилу дифференцирования (u=2x²+3, v=7x²+2):

у′ = = =

= = -

Пример. Вычислить производную функции: у = (5х²+3х-7)⁶

Данная функция является сложной. Обозначим u = 5х²+3х-7, получим функцию у = u⁶, для нахождения производной которой воспользуемся 1 табличным значением:

у′ = 6u⁵ = 6∙(5х²+3х-7)⁵ ∙ (5х²+3х-7)′ = 6∙(5х²+3х-7)⁵ ∙ (10x+3)

Пример. Вычислить производную функции: у =

Для нахождения данной производной сначала преобразуем заданную функцию: у = . Далее воспользуемся 1 табличным значением:

у′ = = =