1. Неопределенность вида .

Пример. Вычислить предел

При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разложить числитель на множители: (х²–25 = (х–5)∙(х+5)), получили общий множитель (х–5), на который можно сократить дробь. Заданный предел примет вид: . Подставив х=5, получим результат.

= = = =5+5 =10

Пример. Вычислить предел  

При подстановке вместо переменной х числа -2 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х+2. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа -2 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

 

2. Неопределенность вида .

Для раскрытия этой неопределенности нужно каждое слагаемое числителя и знаменателя разделить на переменную в наибольшей степени и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность.

Пример. Вычислить предел

Здесь числитель и знаменатель не имеют предела, т.к. оба неограниченно возрастают. В этом случае имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разделим каждое слагаемое на переменную в наибольшей степени, т.е. на х⁴. Получим:

= =

Величины являются бесконечно малыми при и их пределы равны нулю. Следовательно, искомый предел равен .

Пример. Вычислить предел

Имеем неопределенность вида . Аналогично предыдущему примеру разделим числитель и знаменатель на х⁵. Получим:

Пример. Вычислить предел

Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на х². Получим:

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть (х) и (х) бесконечно малые функции при х  А. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Бесконечно малые функции (х) и (х) при х  А называются бесконечно малыми одного порядка, если .

Бесконечно малые функции (х) и (х) при х  А называются эквивалентными бесконечно малыми, если . Записывают (х) ~ (х).

Бесконечно малая функция (х) называется бесконечно малой высшего порядка, чем функция (х), если .

Бесконечно малая функция (х) называется бесконечно малой низшего порядка, чем функция (х), если .

Пример. Сравним бесконечно малые при х0 функции f(x) = x¹⁰ и f(x) = x.

, т.е. функция f(x) = x¹⁰ – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

Бесконечно малые функции (х) и (х) при х  А называются несравнимыми, если не существует предела .

Пример. Если , то при х0 не существует, т.е. функции (х) и (х) несравнимы.

Свойства эквивалентных бесконечно малых

1)  ~ ,

2) Если  ~  и  ~ , то  ~ ,

3) Если  ~ , то  ~ ,

4) Если бесконечно малые функции (х) и (х) соответственно эквивалентны бесконечно малым функциям ₁(х) и ₁(х) и существует конечный или бесконечный, то и существует и они равны, т.е. = .

Следствия:

а) если (х) ~ ₁(х) и , то и

б) если (х) ~ ₁(х) и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

При х0 эквивалентными бесконечно малыми являются следующие функции:

1. sin x~ х;

2. tg x ~ x;

3. ln(1+x) ~ x;

4. e^x – 1 ~ x;

5. 1 – cos x ~ ;

6. a^x – 1 ~ x lna;

7. (1 + x)^ – 1 ~ x;

8. arcsin x ~ x;

9. arctg x ~ x.

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Пример. Найти предел .

Так как 1 – cos x = при х0, то .

Пример. Найти предел