Тема 3.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа Тригонометрическая форма комплексного числа

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  - аргументом комплексного числа.

.

Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть даны два комплексных числа и

В тригонометрической форме удобно производить следующие действия:

1. Умножение:

2. Деление:

3. Возведение в степень:

, где n – натуральное число.

Это выражение называется формулой Муавра.

4. Извлечение корня из комплексного числа:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Показательная форма комплексного числа

, где r - модуль, а  - аргумент комплексного числа.

Действия с комплексными числами в показательной форме

Пусть даны два комплексных числа и

1. Умножение:

2. Деление:

3. Возведение в степень: , где n – натуральное число.

4. Извлечение корня из комплексного числа:

Пример. Число записать в тригонометрической форме, найти z²⁰,

Число представим в виде , где

. Тогда .

Для нахождения воспользуемся формулой Муавра.

При k = 0 получим

При k = 1 получим

При k = 2 получим

При k = 3 получим

Раздел 4. Основы математического анализа

Тема 4.1 Теория пределов и непрерывность Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность x_1, х₂, …, х_n = {x_n}

Общий член последовательности х_n является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

{x_n} = или {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1. Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

2. Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n}  {y_n} = {x_n  y_n}.

3. Произведение последовательностей: {x_n}{y_n} = {x_ny_n}.

4. Частное последовательностей: при {y_n}  0.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

,

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что x_n  M.

Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что x_n  M

Пример. {x_n} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного  >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim x_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n.

Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n последовательность 3, имеет пределом число 2.

{x_n}= 2 + 1/n; 1/n = x_n – 2. Очевидно, что существует такое число n, что ,

т.е. lim {x_n} = 2.