Матричный метод решения систем линейных уравнений

Обозначим матрицу коэффициентов перед неизвестными: А = ,

вектор неизвестных: Х = , вектор свободных членов: В =

Тогда систему линейных уравнений можно записать в равносильной матричной форме:

A·X = B

Это равенство называется простейшим матричным уравнением. Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А – невырожденная (т.е. ), тогда существует обратная матрица . Умножив на нее обе части уравнения, получим A^-1AX = A^-1B.

Поскольку А^-1А = Е и ЕХ = Х, находим

Х = А^-1В

Пример. Решить матричным методом систему уравнений:

Составим матрицы A = , B = , Х = .

Найдем обратную матрицу А^-1:

5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30,

А₁₁ = = -5; А₂₁ = – = –1; А₃₁ = = -1;

А₁₂ = – А₂₂ = А₃₂ = –

А₁₃ = А₂₃ = – А₃₃ =

A^-1 = = ;

Находим матрицу Х:

Х = = А^-1В =  = .

Решение системы: x =1; y = 2; z = 3.

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

Составим матрицы: А = и В =

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Это решение может быть найдено по формулам

, где

, , …,

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:

 = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

₃ = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x₁ = = 1; x₂ = = 2; x₃ = = 3.

Для самостоятельного решения:

;

Решение произвольных систем линейных уравнений

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решением системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Для этой системы линейных уравнений вида матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А^*= называется расширенной матрицей системы

Элементарные преобразования систем

1) Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число

2) Сложение и вычитание уравнений

3) Перестановка уравнений системы местами.

4) Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю