1.1.2. Вынужденные электрические колебания в колебательном контуре
Для возбуждения вынужденных колебаний в цепи колебательно контура подключим его к источнику внешней эдс, изменяющейся по гармоническому закону (рис.4).
(36)
где ε0 - амплитудное значение внешней эдc; ω - ее круговая частота.
Ток в цепи по второму закону Кирхгофа удовлетворяет уравнению
(37)
или
(38)
Член
в
левой части можно рассматривать как
падение напряжения на индуктивности,
т.е.
Поделив уравнение на L
и учитывая (5) и (6), получим:
(39)
Уравнение (39) есть неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение его может быть представлено в виде (в чем можно убедиться подстановкой)
(40)
где q1(t) – решение (19) однородного дифференциального уравнения, a q2(t) - частное решение неоднородного уравнения (39).
(41)
Таким образом,
(42)
Где δ и ω’ определяются из (5) и (20), ω – частота внешней эдс.
Первое слагаемое вносит вклад в решение (42) лишь в начальный момент времени, т.к. со временем оно стремится к нулю. Таким образом, q1(t) можно пренебречь, и за решение уравнения (39) принять установившиеся колебания, описываемые уравнением (41). Подставляя (41) в уравнение (39), определим q0 и φ:
(43)
(44)
где
ω0 – частота собственных колебаний.
Подставляя в формулы для
и
значения
и
,
после несложных преобразований, получим:
(45)
(46)
Зная зависимость от времени заряда конденсатора можно найти зависимость от времени силы тока i(t), напряжения на катушке индуктивности UL, падения напряжении на емкости UC и на сопротивлении UR. Действительно,
(47)
Отсюда видно, что хотя частота колебаний всех электрических величин совпадает с частотой внешней ЭДС, фазы напряжений на R, L и C не совпадают.
Из рассмотренных соотношений (47) видно, что как ток i(t), так и UR(t), опережает по фазе напряжение на емкости на π/2 и отстает на π/2 от напряжения на индуктивности. Напряжения на индуктивности и на емкости изменяются в противофазах ( сдвиг π).
Это обстоятельство отражено на векторной диаграмме (рис.5). В качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, взята ось тока и по ней откладывается амплитудное значение U0R, поскольку ток и напряжение на активном сопротивлении изменяются без сдвига фаз. .С опережением или отставанием в π/2 по фазе, согласно (47),откладываются соответственно амплитудные напряжения U0L U0C.
Складывая векторно эти напряжения, получаем амплитудное значение результирующего напряжения, которое и является амплитудой внешней ЭДС. Из диаграммы (Рис.5) легко получить значение tg φ.Учитывая, что
получаем закон Ома для цепи переменного тока
(48)
Для вынужденных колебаний характерно явление резонанса, которое заключается в возрастании амплитуды вынужденных колебаний (i0, U0C, U0L, U0R) при приближении частоты внешней ЭДС к резонансной частоте, зависящей от параметров L, С и R. Рассмотрим подробнее резонанс для UC и i.
1.1.3. Резонансные кривые для напряжения на конденсаторе
Из (43) следует, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна
(49)
Как и следовало ожидать, U0C прямо пропорциональна амплитуде ЭДС ε0 Кроме того U0C сложным образом зависит от ω. При постоянной амплитуде источника ε0 и заданных параметрах контура L и С зависимость U0C=f(ω) для .трех различных сопротивлений R представлена на рис.6(a). При ω→0 все резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой U0C=ε0. Частота ωр, при которой U0C достигает максимума, называется резонансной частотой.
Резонансная частота для напряжения на конденсаторе ωp находится из условия экстремума функции (49)
(50)
В результате несложных вычислений находим
(51)
Из формулы (51) видно, что резонансная частота для напряжения на конденсаторе меньше частоты свободных: затухающих колебаний(сравните с (20)), но при R=0 резонансная частота совпадает с частотой собственных колебаний ω0.
Таким образом, при небольших сопротивлениях контура R амплитуда вынужденных колебаний заряда и и напряжения на конденсаторе UC достигает максимального значения при частоте ЭДС, приблизительно равной частоте собственных: колебаний контура. С увеличением сопротивления R резонансные кривые понижаются, а максимум сдвигается в сторону меньших частот.
Рис.6.Резонансные кривые напряжении на конденсаторе (а) и тока в контуре (б) при разных сопротивлениях