Imshow(I)

title('Исходное изображение');

figure, imshow(J)

title('Зашумленное изображение');

K_med = medfilt2(J);

figure, imshow(K_med)

title('Фильтрованное изображение');

Видно, что медианный фильтр очень эффективно подавляет импульсные помехи с явно негауссовым распределением.

Если же попытаться применить медианную фильтрацию к изображению, зашумленному шумом с гауссовым распределением, то получим (самостоятельно) не очень хороший результат.

Задание на самостоятельную работу.

1. Прочесть из библиотеки MATLAB несколько тестовых изображений.

2. Отобразить исходные изображения на экране ПК.

3. Зашумить изображения нормальным белым шумом и импульсной помехой с различной плотностью шума.

4. Отобразить зашумленные изображения.

5. Выполнить фильтрацию исходных изображений линейными фильтрами с использованием оконных фильтров НЧ и ВЧ, и процедуры imfilter(I,h);

6. Отобразить изображения после фильтрации. Объяснить полученный результат (изменение характера изображения в результате фильтрации).

7. Профильтровать различными линейными фильтрами изображения, зашумленные различными по характеру помехами. Отобразить результат фильтрации. Объяснить полученный результат.

8. Произвести фильтрацию зашумленных изображений нелинейным медианным фильтром. Отобразить полученный результат. Объяснить действие медианного фильтра на гауссову и импульсную помеху на изображении.

9. Ответить на следующие вопросы:

- объясните процедуру линейной фильтрации изображения оконным фильтром.

- чем отличаются “окна фильтров” для НЧ и ВЧ фильтрации?

- как изменяется вид изображения после его фильтрации НЧ фильтрами?

- как изменяется вид изображения после его фильтрации BЧ фильтрами?

- для помех какого характера больше подходит медианная фильтрация, и почему?

Пространственные преобразования изображений.

Так же, как и для сигналов, для изображений существует ряд линейных преобразований, значительно расширяющих возможности работы с ними. Основным из них является двумерное дискретное преобразование Фурье.

Двумерное дискретное преобразование Фурье.

Пусть f(x,y) = f(x_i,y_j) = f_ij, i= 0,1,2, 3, … , M-1, j = 0,1, 2, 3, …, N-1 дискретное изображение, размером M x N пикселей, i и j – номера пикселей по вертикали и горизонтали.

Тогда двумерное дискретное преобразование Фурье (двумерное ДПФ, DFT – Discrete Fourier Transform) от этого изображения обозначается, как F(ν,υ) = F(ν_k,υ_l) = F_kl и определяется следующим образом

,

здесь ν,υ – так называемые пространственные частоты, а k и l – номера частотных составляющих двумерного дискретного преобразования Фурье, k = 0,1, 2, 3, ..., M-1, l = 0,1, 2, 3, …, N-1.

Пространственные частоты ν,υ для двумерной функции (изображения) имеют тот же смысл, что и временная частота f для одномерной функции – сигнала.

Частота сигнала отражает скорость изменения сигнала во времени, чем быстрее изменяется сигнал, тем более высокие частоты присутствуют в его спектре (в его преобразовании Фурье).

Точно таким же образом, чем быстрее изменяется изображение по соответствующей координате x или y, тем более высокие пространственные частоты по этой координате ν или υ имеет изображение.

Таким образом, двумерное ДПФ переводит дискретное изображение из области пространственных переменных в область частотных переменных.

Соответственно, имеет место и обратное двумерное дискретное преобразование Фурье

,

которое переводит изображение из частотной области в область пространственных переменных.

То есть изображение можно представлять, как его отсчетами f(x,y) = f(x_i,y_j) = f_ij, в пространственной области, так и его спектральными коэффициентами F(ν,υ) = F(ν_k,υ_l) = F_kl в частотной области.

Вычисление и отображение двумерного ДПФ в MATLAB.

Прямое и обратное двумерное дискретное преобразование Фурье в MATLAB выполняются с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT – Fast Fourier Transform), которое требует для своего выполнения гораздо меньше операций, чем обычное ДПФ.

Алгоритм двумерного ДПФ массива f размером MxN  в MATLAB реализуется функцией

F = fft2(f)

Эта функция возвращает в качестве результата также двумерный массив, но уже коэффициентов ДПФ размером MxN, начало массива находится в верхнем левом углу и имеет координаты (1,1).

Преобразование Фурье имеет комплексный вид, то есть F = Re(F) + jIm(F),

поэтому, для его отображения нужно найти модуль спектра S=abs(F).

Отображение спектра, так же, как и исходного изображения, производится с использованием функции