3. Уравнение касательной к кривой

Пусть кривая описывается уравнением z = z(x), а прямая – уравнением

y = kx + b (рис. 2).

Определение 1. Касательной к графику называют прямую линию

y = kx + b, которая наилучшим образом описывает исходную функцию z = z(x) в окрестности точки х₀. «Наилучшим образом» означает, что в окрестности точки х₀ выполняется z(x) – (kx + b) = α, где α = α(х – х₀) есть бесконечно малая функция при х→х₀.

Рис. 2

Выведем уравнение касательной к кривой.

В соответствии с определением производной

.

По определению предела , где β = β(х – х₀) – б.м.ф. при х→х₀. Отсюда .

Обозначим . Тогда в окрестности точки х₀ уравнение кривой z = z(x) можно представить как z = kx + b + α.

Следовательно, y = kx + b есть по определению уравнение касательной к кривой z = z(x) в точке х₀.

Определение 2. Нормалью называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

4. Геометрический смысл производной

Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла её наклона, то уравнение касательной у = k x + b к кривой дифференцируемой функции у=f(x) в точке М(х₀, у₀) можно записать следующим образом:

у – у₀ = k (x – х₀) = f'(x₀) (x – х₀) или у = f'(x₀) (x – х₀) + у₀.

Таким образом, производная k = y'₀ = f'(x₀) есть тангенс угла наклона кривой у=f(x) в точке х₀ к оси Ох.

Для функции у = f(x) ее производная у' = f'(х) для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке (рис.1).

Если касательную к кривой в некоторой точке провести невозможно, то это означает, что функция недифференцируема в этой точке.

Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ и имеет правую и левую производные f'₊ и f'_-, причем f'₊ ≠ f'_-, то в точке х₀ график функции у = f(x) касательной не имеет (рис. 3). Но в точке х₀ существуют две односторонние полукасательные (правая и левая касательные). Точка на графике, в которой происходит излом графика, называется угловой точкой кривой f(x).

Рис. 3.

Если функция f(x) непрерывна в точке х₀, а ее правая и левая производные в этой точке бесконечны, то возможны 4 различных случая:

1) (рис. 4);

2) (рис. 5);

3) (рис. 6);

4) (рис. 7).

Графики на рисунках проходят через точку М под углом 90^о, касательная перпендикулярна оси Ох.

5. Угол между кривыми

Определение. Углом между кривыми на плоскости в их общей точке М(х₀, у₀) называется наименьший из двух возможных угол между касательными к этим кривым в данной точке (рис. 8).

Рис. 8

К кривым f₁(x) и f₂(x) проведены касательные в их общей точке М(х₀, у₀), уравнения которых у = k₁ x + b₁ и у = k₂ x + b₂. Здесь k₁ = tg α, k₂ = tg β. Угол между касательными φ = α – β:

.

Если tg φ < 0, значит, найден тупой угол ψ = π – φ:

.

Условие параллельности двух прямых:

φ = 0 → tg φ = 0 → k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

→ tg φ = ∞ → 1+ k₁ k₂ = 0, т.е. .

6. Схема нахождения производной

Схема нахождения производной следует из ее определения:

1. Фиксируется значение х аргумента функции и выписывается начальное значение функции f(x).

2. В точке х аргументу придается приращение Δх ≠ 0 и выписывается новое (наращенное) значение функции f(x + Δx).

3. Вычисляется приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).

4. Составляется отношение Δy / Δx.

5. Находится предел этого отношения при Δx  0 (если этот предел существует).

Пример 1. Найдем производную функции у = х².

1. Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем начальное значение функции f(x) = х².

2. В точке х аргументу придаем приращение Δx ≠ 0 и выписываем новое значение функции f(x + Δx) = (х + Δx)².

3. Вычисляем приращение функции: Δy = f(x + Δx) – f(x) = (х + Δx)² – х² =

= x² + 2х Δx + (Δx)² – x² = Δx (2х + Δx).

4. Составляем отношение = 2х + Δx.

5. Находим предел этого отношения при Δx  0:

у' = .

Таким образом, получаем f'(х) = (х²)' = 2х.