9. Сложная функция

Пусть функция у=f(u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u, в свою очередь, является функцией u=(х) от переменной х, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция у=f((х)) называется сложной функцией (композицией функций, функцией от функции).

u – промежуточный аргумент сложной функции.

Например, – сложная функция, так как состоит из двух функций: и .

Сложная функция составлена из трех функций: , , .

10. Элементарная функция

Функция называется элементарной, если она получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и операций образования сложной функции.

Например, функция

является элементарной, так как она получена из основных элементарных функций: степенной и тригонометрической с помощью операции сложения.

Функция

является элементарной, так как она получена из основных элементарных функций: , , , , , с помощью конечного числа алгебраических операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций образования сложной функции.

Примеры неэлементарных функций: функция Дирихле (рис.7); функция y=[x] (читается «y равно антье x») – целая часть от значений аргумента x (рис.8).

Функция Дирихле:

определена на всей числовой прямой; множество ее значений состоит из двух точек: 0 и 1. График ее изобразить невозможно. На рис.7 приведено лишь схематическое изображение функции Дирихле.

Функция y=[x] задана для вещественных значений x (x є R), а множество ее значений состоит из целых чисел (y є Z) (рис.7).

Рис.7 Рис.8

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Функция называется алгебраической, если над ее аргументом проводится конечное число алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление). Алгебраические функции тесно связаны со степенными. К ним относятся:

- Многочлен (полином) – целая рациональная функция P_n(x):

.

Здесь – постоянные числа (коэффициенты); nN – степень многочлена. Функция определена на всей числовой оси.

К целым рациональным относятся распространенные линейная (степень n=1) и квадратичная (n=2) функции.

- Дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов P_n(x)/ Q_m(x):

- Иррациональная функция – если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня.

Неалгебраические (трансцендентные) функции получают из показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических функций.

11. Обратная функция

Пусть функция у=f(x) отображает область определения D на область значений E взаимно однозначно, т.е. каждому значению х из области D соответствует единственное значение у из области E, и обратно, каждому у из E соответствует единственное значение х из D. Тогда можно задать функцию x=(y), обратную к y=f(x) следующим образом:

Если каждому , то каждому .

Функции f и  называются взаимно обратными.

Функцию, обратную данной функции f, обозначают f^-1 или x=f^-1(y), . Для обратной функции f^-1 множество D – область значений, множество Е – область определения.

Для задания обратной функции f^-1 надо решить уравнение y=f(x) относительно х (если это возможно), выразив х через у: x=f^-1(y).

Пример. Для функций , и , найти обратные к ним функции, если последние существуют.

Решение. Для функции , функция , является обратной (рис.9).

У функции , не существует обратной, так как разным х₁ и х₂ может соответствовать один и тот же y. Например, числам и соответствует одно и то же число (рис.10).

Рис.9 Рис.9

Однако традиционно независимую переменную обозначают через x, а функцию через y, поэтому функция, обратная к функции y=f(x), примет вид

y=φ(x)=f^-1(x).

Например, для функции , обратной будет функция , . Для функции y=a^x обратной будет функция y=log_ax.

Существует теорема, что для любой строго монотонной функции у=f(x) существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функций у=f(x) и y=(x) симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов, то есть прямой y=x (рис.11).

Рис. 11

18