3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа

Абсолютная величина (модуль) действительного числа х обозначается |x| и определяется:

Из определения следует, что |x| ≥ 0 для любого x.

Существуют следующие теоремы:

1. Неравенство |x| ≤ a, где a>0, равносильно двойному неравенству:

-а ≤ х ≤ а

2. Из неравенства |x| ≥ а следует, что х ≥ а или х ≤ -а.

3. |x + y| ≤ |x| + |y|.

4. |x – y| ≥ |x| – |y|.

5. |x y| = |x| |y|, .

Примеры. 1) Решить неравенство |x – 3| ≤ 5.

Из 1-й теоремы следует двойное неравенство: -5 ≤ х – 3 ≤ 5 или -2 ≤ х – 3 ≤ 8.

2) Решить неравенство (x + 4)² ≥ 9.

Извлекая квадратный корень, получаем неравенство |x + 4| ≥ 3.

Из 2-й теоремы следуют неравенства: x + 4 ≥ 3 или x + 4 ≤ -3.

Далее, x ≥ -1 или x ≤ -7.

4. Окрестность точки числовой прямой

Любую точку на числовой прямой можно охарактеризовать ее окрестностью.

Окрестностью точки а на числовой прямой называется любой интервал, содержащий в себе точку а.

Интервал (а – δ; а + δ), т.е. множество точек таких, что выполняется неравенство а – δ < x < а + δ или |x – a| < δ, где δ > 0, называется δ-окрестностью точки а.

5. Понятие функции

Общее определение функции: функцией f, заданной на некотором множестве X, называется правило (закон, закономерность), по которому каждому элементу х из множества X (обозн. xєX) ставится в соответствие единственный элемент у другого множества Y (уєY).

Говорят, что между элементами х и у существует функциональная зависимость.

Множество X называется областью определения (множеством допустимых значений X или областью существования) функции и обозначают буквой D, множество Y – областью значения функции и обозначают Е.

Символьное обозначение определения функции: или y=f(x). Буква f – символ правила, по которому значениям x ставятся в соответствие значения y.

При исследовании могут рассматриваться различные функции, поэтому они могут обозначаться различными буквами: f(x), F(х), q(х) и т.д.

Поскольку х и у могут принимать любые значения, принадлежащие множествам D и Е, то их называют переменными величинами. Поскольку переменная величина х выбирается из множества D произвольно, то ее называют независимой переменной (аргументом); переменная величина у – зависимой переменной или просто функцией.

6. Способы задания функции

Функция считается заданной, если приведено правило для определения значения функции, соответствующего данному значению аргумента.

Наиболее часто используются аналитический, графический и табличный способы задания функции.

Аналитический способ состоит в представлении функции формулой (аналитическим выражением). Оно указывает алгоритм (порядок) выполнения действий над значением аргумента с целью получения соответствующего значения функции.

Например, y = 2x + 3 или y = 3x² – 4.

Если функция задается только аналитически без каких-либо дополнительных условий, то под ее областью определения D понимают совокупность всех тех значений аргумента x, для которых аналитическое выражение имеет смысл.

Например, необходимо исключать из области определения D все значения аргумента x, при которых выражение под знаком радикала (корня) четной степени становится отрицательным, или исключать все значения x, приводящие к делению на 0.

Например, областью определения функции является вся числовая ось (все множество действительных чисел R)  ;

ООФ для функции является вся числовая ось, кроме точки x= - 4 (с «выколотой» точкой), т.е. объединение интервалов: ;

ООФ функции является отрезок –3 3, так как , и т.д.

Функция может быть задана двумя или бóльшим числом формул. Например, функция модуля у=|х| задается двумя формулами:

Аналитически функция может быть задана в явном или неявном виде. В рассмотренных примерах функция у была задана в явном виде y=f(x), т.е. формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной y.

Функция задана в неявном виде, если она описывается уравнением F(x,у)=0, т.е. не разрешенном относительно зависимой переменной у. Например, уравнение задает неявную функцию у.

Графический способ задания функции заключается в построении графика – некоторой линии в данной системе координат.

Например, в прямоугольной системе координат график функции состоит из точек координатной плоскости с координатами (x, f(x)). Каждая точка графика M(x, y) представляется как упорядоченная пара чисел (x, y), т.е. имеет абсциссу (соответствует значению аргумента х) и ординату (соответствует значению функции у).

Табличный способ задания функции состоит в задании функциональной зависимости в виде таблицы, содержащей ряд числовых значений аргумента и соответствующих им значений функции.