4 Оптимизация при наличии ограничений
4.1 Ограничения в виде равенств
Рассмотрим функцию
двух переменных
На
и
наложено ограничение
=0.
(4.1)
Уравнение –
ограничение можно решить
,
но не всегда.
При выполнении условий дифференцируемости
(4.2)
Функция
можно записать как функцию одной
переменной
.
Необходимым
условием минимума
будет
,
т.е.
.
(4.3)
Соотношения (4.1)
и (4.2) могут быть решены с целью получения
значений
и
в точке минимума.
Этот результат может быть представлен в иной форме, если положить
.
При
и
в точке минимума выполняются соотношения
.
Получить эти три соотношения можно, используя функцию Лагранжа
(5.4)
Пример.
Найти минимум функции
при
.
Функция Лагранжа
Решением является
,
.
Минимум функции равен 8.
Необходимые условия минимума (4.4) могут быть обобщены для функций «n» переменных при наличии «m» ограничений:
;
.
Ограничения можно
использовать для того, чтобы выразить
«m»
переменных через остальные «n-m»
переменных. В точке минимума
для всех
удовлетворяющих условию
при
.
Тогда с точностью
до первого порядка
будем иметь
,
где
,
при
…,
Это условие можно записать иначе:
,
(4.5)
где
множители
Лагранжа.
Поскольку
являются независимыми приращениями,
коэффициенты при них должны быть равны
нулю, т.е.
при
.
Приращения
не являются независимыми приращениями,
и их можно положить равными нулю выбором
множителей Лагранжа в уравнении (5.5).
Таким образом, выбираем множители
,
чтобы
при
.
Окончательно будем иметь
при
.
Следовательно, если определить функцию Лагранжа в виде
,
то необходимые условия минимума функции при наличии ограничений можно записать следующим образом:
при
(4.6)
при
(4.7)
Для допустимых значений (таких, которые удовлетворяют ограничениям) справедливо соотношение
.
Таким образом,
.
С учётом (4.6) получим для всех , удовлетворяющих ограничениям, что
.
(4.8)
Достаточным условием минимума при наличии ограничений являются уравнения (4.6) и (4.7), а также положительная определённость квадратичной формы.
4.2 Ограничения в виде неравенств
Метод множителей Лагранжа распространим на ограничения в виде неравенств.
Рассматривается общая задача математического программирования:
Минимизировать
функцию
при наличии
ограничений вида
.
В настоящее время нет метода, гарантирующего существование решения любой подобной задачи.
Ограничение в виде
неравенств можно преобразовать в
ограничения в виде равенств добавлением
к каждому из них неотрицательной
ослабляющей переменной
:
или
.
Функция Лагранжа
.
Необходимыми условиями, которые должны выполняться в стационарной точке, являются следующие:
,
при
;
(4.9)
,
при
;
(4.10)
,
при
;
(4.11)
Умножив последнее
равенство на
,
получим
,
т.е.
,
при
;
(4.12)
Уравнения (4.9),
(4.10) и (4.12) являются необходимыми условиями
минимума в точке
при наличии ограничений. Уравнение
(4.12) означает, что либо
,
либо
.
Если
,
то
и ограничение является активным. Если
ограничение является ограничением в
виде строгого неравенства
то
.
Есть также
дополнительное условие, которое должно
быть выполнено в точке минимума при
наличии ограничений, а именно
.
Покажем это.
Предположим, что
соотношения (4.9), (4.10) и (4.12) справедливы
в точке
.
Если
,
то можно рассматривать
как функцию от
и изменения
будут изменять ограничения и, таким
образом, изменять саму функцию
.
Покажем, что
.
,
где частные производные вычисляются в точке .
Поскольку
,
то
Тогда
,
где
.
В соответствии с (4.9) выражение в скобках равно нулю. Таким образом,
.
С увеличением
область ограничений расширяется, что
не может привести к увеличению значения
минимума функции, находящегося внутри
области ограничений, а может лишь
уменьшить его. Таким образом,
,
т.е.
.
Необходимые
условия минимума функции
при наличии ограничений
имеют такой вид, что можно найти
и
для которых
при ,
при ,
при
,
при .
Знак
меняется на противоположный, если
рассматривается максимум.
Эти условия известны как условия Куна-Такера.
Пример
Написать условия
Куна-Такера для минимума функции
при ограничениях
,
и
.
Функция Лагранжа
.