I Классические методы
1.1 Функции одной переменной
Функция
имеет локальный минимум в точке
,
если существует некоторая положительная
величина
,
такая, что если
,
то
.
Функция имеет в точке
глобальный минимум, если для всех
справедливо
.
Рисунок
Классический подход к задаче нахождения и состоит в поиске уравнений, которым они удовлетворяют.
Для функции на
рисунке
непрерывна и в
и
обращается в ноль. Но и в точках
и
.
Следовательно, это условие является
необходимым.
В точке минимума
изменяет свой знак с (-) на (+), т.е. является
возрастающей функцией. Степень возрастания
определяется производной. Если
>0,
то в точке
функция имеет минимум
=0
и
<0
– максимум.
Если
,
то возникает
неопределенность. Полученные результаты
можно обосновать, если рассмотреть
разложение функции
в ряд Тейлора.
Можно сформулировать следующее правило:
Если функция и ее производные непрерывны, то точка является точкой экстремума (максимума или минимума) тогда, и только тогда, когда n – четное, где n – порядок первой необращающейся в нуль в точке производной.
Пример.
=
;
=120
360
Следовательно,
имеет минимум в точке
1.2 Функция нескольких переменных
Рассмотрим функцию ‘n’ переменных
.
Градиент
имеет компоненты
,…
обозначают
.
Матрица Гессе
(гессиан) функции
обозначается
и (имеет вид) является симметричной
матрицей
элементов вида
.
Функция
имеет локальный минимум в точке
,
если для
,
удовлетворяющему условию
,
справедливо
.
В случае глобального
экстремума в точке
.
Разложение функции в ряд Тейлора
Необходимое условие
минимума
Знак разности
определится членом
.
Если матрица Гессе
положительно определена, то этот член
положителен для всех
.
Следовательно, необходимым и достаточным
условием минимума являются
и
положительно
определена.
Необходимым и достаточным условием максимума функции являются
и отрицательно определена.
Пример.
положительно
определена.
1.3 Метод Ньютона
Для функции одной
переменной классический подход при
поиске значений
в точке перегиба функции
состоит в решении уравнения
Решить такое
уравнение не всегда просто. Рассмотрим
численный метод его решения. Задана
.
Необходимо найти
Пусть выбраны
точки
и
в которых
и
имеют противоположные знаки (смотреть
рисунок).
Т
огда
существует точка
,
в которой
.
Причём,
.
Рисунок
Метод Ньютона позволяет улучшить грубую аппроксимацию, чтобы улучшить корень уравнения
Если точка
аппроксимация решения
,
то точка
,
в которой касательная к
в точке
пересекает ось
,
является лучшей аппроксимацией.
Рисунок
ОТ=ОА-АТ
ОА=
;
АТ=
и
.
В общем случае
Итерации могут быть продолжены до тех пор, пока для двух последующих аппроксимаций не будет достигнута требуемая точность.
Применение метода
Ньютона будет неудачным, если первая
аппроксимация корня такова, что отношение
недостаточно
мало. Для того,
чтобы итерации сходились, необходимо
улучшить начальную аппроксимацию корня.
Самостоятельно исследовать функцию
.