Основы радиальной теории движения ионов на зонд

Рассмотрим теоретическую интерпретацию наиболее часто измеряемого ионного тока насыщения на отрицательный зонд. Точное решение заключается в решении уравнения Пуассона , куда входят неизвестные концентрации электронов и ионов , сами зависящие от распределения потенциала. Наиболее просто получить аналитический вид зависимости концентраций от потенциала в приближении “холодных” ионов – . Ионы при таком рассмотрении двигаются на зонд радиально и никакого орбитального движения не происходит (Аллен, Бойд, Рейнольдс – ABR теория) [1].

При достаточно больших отрицательных потенциалах концентрация электронов удовлетворяет распределению Больцмана: . При нулевой температуре ионов их скорость на зонд направлена по радиусу и определяется потенциалом: .

Концентрацию ионов можно определить, задаваясь ионным током на цилиндрический зонд: , где и  – радиус и длина зонда.

Определяем отсюда концентрации и, подставляя их в уравнение Пуассона, получаем выражения в общем виде для цилиндрического зонда:

. (1)

В (1) для удобства положим длину зонда . Введем – безразмерный потенциал и – скорость ионного звука. Тогда выражение (1) примет форму:

. (2)

Здесь – это поток ионов на зонд, т.е. . Перепишем (2):

. (3)

Введем , где – радиус Дебая. Тогда:

(4)

Обозначив – ток ионов пересекающих дебаевский радиус, произведем нормировку ионного тока на зонд:

. (5)

Подставляем полученное выражение в (4) получаем ABR уравнение для цилиндрического зонда:

. (6)

Для каждого значения это уравнение может быть проинтегрировано при изменении от до любого малого значения (рис. 1). Точка на кривой где – радиус зонда даст потенциал зонда . Разумеется, и зависят от неизвестной плотности , которую необходимо определить из измеряемого тока ( считаем известным из переходного участка характеристики). Однако, в настоящее время исключение из этих универсальных кривых является достаточно тривиальной задачей. Для этого следует перестроить полученные путем интегрирования уравнения (6) кривые в виде зависимости от , тогда зависимость от исчезает [2].

Результаты численных расчетов приведены в виде графиков на рис. 1.

Рис. 1. Зависимость нормированного ионного тока от нормированного потенциала цилиндрического зонда при различных . Численное решение уравнения (6) [2, 3]

Основы орбитальной теории движения ионов на зонд

Если ионы обладают конечным моментом количества движения, они двигаются по криволинейным траекториям. На рис. 2 приведены различные типы орбит притягивающихся частиц. Здесь может возникнуть ситуация, когда появляются ионы, двигающиеся от зонда, но дающие дополнительный вклад в значение концентрации. Вычисление концентрации ионов, подставляемой в уравнение Пуассона, становится чрезвычайно сложной задачей. Первой работой, дающей методику расчета потенциала без разбиения на слой и квазинейтральную плазму с учетом всех возможных траекторий ионов, является работа Бернштейна и Рабиновича [4]. Они провели обширные численные расчеты ионного и электронного тока на сферический и цилиндрический зонды в широком диапазоне изменения параметров  и .

Рис. 2. Траектории частиц в окрестности зонда

В [4] решалось уравнение Пуассона с больцмановским распределением концентрации электронов и концентрацией ионов, определяемой их энергией , кинетическим моментом и потенциалом .

. (7)

Здесь произведен переход от проекций скоростей , к энергии и кинетическому моменту , .

. (8)

Пределы по разделяют ионы на три области:

• – попадают на зонд и дают одинарный вклад в концентрацию;

• – не попадают на зонд, но достигают радиуса . Дают двойной вклад в концентрацию;

• – не достигают радиуса и не дают вклада в концентрацию.

Тогда интеграл в (7) берется:

. (9)

Ионный ток на зонд определяется выражением:

. (10)

Для определения рассмотрим потенциальную энергию двигающегося на зонд иона . Условие попадания на зонд .

При очень малых радиусах, много меньше дебаевского, поле близко к кулоновскому и каждому радиусу соответствует свое значение квадрата кинетического момента , связанное с минимумом потенциальной энергии. Оно определяется условием , т. е.

, (11)

. (12)

При чисто кулоновском поле , где – const. ; , отсутствует. При положительных энергиях пересечение с кривой только одно, и если выполняется условие , то оно выполняется и при больших (предельный случай орбитального движения – OML).

При отступлении от кулоновского поля, когда вблизи поле падает быстрее из-за экранирования притягивающимися зарядами, может появиться максимум потенциальной энергии , определяемый тем же условием , .

Рис. 3. Потенциальная энергия двигающегося на зонд иона

С ростом максимум начнет сдвигаться в сторону уменьшения , а минимум в сторону увеличения, причем с радиусом уже будет расти медленнее, чем . При некотором на радиусе , когда , рост прекращается и минимум совпадает с максимумом (точка перегиба).

Значения и определяются условием экстремума , т. е. ; , откуда:

; . (13)

На радиусах меньших при существует потенциальная яма, в которой могут существовать захваченные (вследствие столкновений с атомами или рожденные там) частицы с замкнутыми траекториями (спутники), которые в конце концов вследствие тех же столкновений попадут на зонд. При экстремумы и потенциальная яма отсутствуют.

При при всех и минимума нет, как нет и захваченных частиц. Именно такой случай рассмотрен Бернштейном и Рабиновичем, а также Лафрамбуазом. Это соответствует условию .

1. . Тогда , где – определяется условием ;

2. ; Тогда (предельный случай орбитального движения – OML); ;

3. . Тогда (предельный случай орбитального движения – OML); (предельный случай орбитального движения – OML).

Далее для получения зондовой характеристики необходимо решать уравнение Пуассона, в котором для упрощения вычислений реальное распределение по энергиям ионов в плазме Бернштейн и Рабинович заменяют моноэнергетическим:

, (14)

где . Тогда в безразмерных переменных , , , , для цилиндрического случая уравнение Пуассона записывается в виде:

(15)

Здесь для цилиндрической симметрии определяется так:

. (16)

Уравнение (15) решалось численно, результаты представлялись в виде графиков и таблиц [4].

Позднее Лафрамбуаз [3] обобщил результаты Бернштейна и Рабиновича на случай максвелловского распределения ионов в окружающей зонд плазме:

. (17)

К сожалению, расчеты были проведены только для случаев , 0,5 и 1. Однако, если взять , как это обычно и бывает в лабораторной плазме, зависимостью зондовой характеристики от можно пренебречь, что значительно упрощает расчеты.

Теория Лафрамбуаза при максвелловской функции распределения ионов практически применяется редко, тем не менее, данная модель дает наиболее полные результаты. Расхождения между данными, соответствующими моноэнергетическому и максвелловскому распределениям, заметны только в области перехода к условиям орбитального движения (малые ) на рис. 4.

В области , где условие орбитального движения не применимо, результаты Лафрамбуаза также хорошо согласуются с результатами для моноэнергетического распределения, подтверждая полезность теории Бернштейна и Рабиновича.

Рис. 4. Зависимость ионного тока на цилиндрический зонд от при . — – максвеловское распределение ионов, --- – моноэнергетическое распределение ионов

Подводя итог, следует отметить ряд важных особенностей рассмотренных выше точных теорий применительно к цилиндрическому зонду:

• В цилиндрическом случае при совпадения данных, полученных по радиальной и по орбитальной теориям, нет. Ионный ток существенно уменьшается при малых по сравнению с радиальной теорией. Причиной этого расхождения является неопределенность момента количества движения при и . Действительно, с увеличением радиуса кинетический момент пропорционален , как и собираемая поверхность, в то время как в сферическом случае кинетический момент пропорционален , а собираемая поверхность и влияние кинетического момента при на ионный ток практически исчезает.

• Зависимость ионного тока от на цилиндрический зонд при незначительная.

• С ростом происходит инверсия зависимости ионного тока от и при .

• Аналогичные расчеты для электронного тока насыщения с учетом их орбит показали, что зависимость сохраняется до меньших значений и инверсия этой зависимости отсутствует.

При больших длинах пробега и отсутствии столкновений более предпочтительной является орбитальная теория, но при наличии столкновений в области возмущения происходит усреднение поперечных скоростей ионов и их коллективное движение на зонд становится ближе к чисто радиальному движению.