Задачі для самостійного рішення

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що подія А настане рівно 70 разів у 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.

Приклад 2. Ймовірність ураження мішені при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде вражена рівно 75 разів.

Приклад 3. Імовірність того, що покупець, який завітав до взуттєвого магазину, здійснить покупку, дорівнює в середньому 0,1. Яка ймовірність того, що із 900 покупців, що завітали до магазину, здійснять покупку: 1) 90 покупців; 2) від 100 до 180 покупців?

Приклад 4. Верстат-автомат виготовляє однотипні деталі. Імовірність того, що виготовлена одна деталь виявиться стандартною, є величиною сталою і дорівнює 0,95. За зміну верстатом було виготовлено 800 деталей. Яка ймовірність того, що стандартних деталей серед них буде від 740 до 790 шт.?

Приклад 5. В електромережу ввімкнено незалежно одну від одної 500 електролампочок, які освітлюють у вечірній час виробничий цех заводу. Імовірність того, що електролампочка в електромережі не перегорить, є величиною сталою і дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що з 500 електролампочок не перегорить:

1) не більш як 380 шт.;

2) не менш як 390 шт.

Приклад 6. Імовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,8. Скільки треба виробити випробувань, щоб з імовірністю 0,9 можна було очікувати, що подія з'явиться не менше 75 разів?

Приклад 7. Ймовірність появи позитивного результату в кожному з n дослідів дорівнює 0,9. Скільки треба здійснити дослідів, щоб з імовірністю 0,98 можна було очікувати, що не менше 150 дослідів дадуть позитивний результат?

Домашнє завдання

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що подія А настане 1400 разів в 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6

Приклад 2. Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених виявиться 50 хлопчиків

Приклад 3. Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань дорівнює 0,7. знайти ймовірність того, що подія з'явиться: а) не менше 1470 і не більше 1500 разів, б) не менше 1470 разів; в) не більше 1469 разів.

Питання для закріплення

1. Сформулювати локальну теорему Муавра-Лапласа.

2. Сформулювати інтегральну теорему Муавра-Лапласа

3. Функція Гаусса та її властивості.

4. Функція Лапласа та її властивості.

Практична робота №6

Тема: Визначення наймовірнішого числа подій в незалежних випробуваннях. Закони розподілу

Мета: Оволодіти навичками визначення наймовірнішого числа подій в незалежних випробуваннях

Теоретична частина

Найімовірнішим числом появи випадкової події А в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі називається таке чис­ло к₀, для якого ймовірність Р_n (к₀) перевищує або в усякому разі є не меншою за ймовірність кожного з решти можливих наслідків експериментів.

Приклад 1. Імовірність появи випадкової події А в кожному з n = 8 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р = 0,5 (q = 1 – р = 0,5). Обчислити ймовірності подій для к = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Значення обчислених ймовірностей наведено в таблицi:

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8

Із таблиці бачимо, що при к = 4 ймовірність набуває найбільшого значення, а саме . Отже, найімовірніше число появи події є к₀ = 4.

Зауважимо, що для визначення наймовірнішого числа появи події немає потреби обчислювати ймовірності для різних можливих значень .

Справді, запишемо формули для обчислення ймовірностей при значеннях к = к₀; к = к₀ – 1; к = к₀ + 1 і розглянемо їх відношення:

.

Об’єднавши два останніх нерівності, дістанемо:

.

Число к₀ називають також модою.

Слід зауважити:

а) якщо число np-q – дріб, то існує одне наймовірніше число ;

б) якщо число np-q – ціле, то існує два наймовірніших числа, а саме і +1;

в) якщо число np – ціле, то наймовірніше число =np.

Приклад 2. Відділ технічного контролю перевіряє партію з 10 деталей. Ймовірність того, що деталь стандартна, дорівнює 0,75. Знайти найімовірніше число деталей, які будуть визнані стандартними.

Розв’язок. За умовою задачі:

p=0,75

n=10

Знайдемо q:

q=1- p = 1-0,75=0,25

Знайдемо к₀ з формули:

10*0,75-0,25<=k₀<10*0,75+0,75

7,25<=k₀<8,25

Так, як число np-q дробове, то існує тільки одне к₀ ціле число

k₀=8

Приклад 3. Товарознавець оглядає 24 зразка товарів. Ймовірність того, що кожен із зразків буде визнаний придатним до продажу, дорівнює 0,6. Знайти найімовірніше число зразків, які товарознавець визнає придатними до продажу.

Розв’язок. За умовою задачі, n=24; p=0,6; q=0,4. Знайдемо наймовірніше число зразків, які придатні до продажу з нерівності:

.

,

або .

Так як np-q=14 – ціле число, то наймовірніших чисел два:

і

Закони розподілу.

Випадкова величина Х може набути значень

x₀=0, x₁=1, x₂=2, ...x_n=n

Ймовірності можливих значень x_k випадкової величини Х обчислимо за біномною формулою:

p_k=P_n(k)=C_n^kp^kq^n-k, q=1-p

і одержимо закон розподілу описаної випадкової величини Х, який називається біномним

X=xk	0	1	2	….	n
p=pk	qn	Cn1pqn-1	Cn2p2qn-2	….	pn

Приклад 4. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елемента в одному випробуванні дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа відмовили елементів в одному досвіді.

Розв’язок. Дискретна випадкова величина X (число відмовили елементів в одному випробуванні) має наступні можливі значення:

х₁ = 0 (жоден з елементів пристрою не відмовив),

х₂ = 1 (відмовив один елемент),

х₃ = 2 (відмовили два елементи) і

х₄ = 3 (відмовили три елементи).

Відмови елементів незалежні один від іншого, ймовірності відмови кожного елемента рівні між собою, тому можна застосувати формулу Бернуллі. Враховуючи, що, за умовою, n = 3, р = 0,1 (отже, (q = 1-0,1 = 0,9), отримаємо:

Р₃(0) =q³ = 0,9³ = 0,729;

Р₃(1) = C₃¹ *p*q²= 3*0,1*0,9²=0,243;

P₃(2)=C₃²*p²*q=3*0,1²*0,9=0,027

P₃(3)= p³ =0,1³ = 0,001.

Перевірка: 0,729+0,243+0,027+0,001 = 1.

Запишемо у вигляді таблиці біномний закон розподілу X:

X	0	1	2	3
P	0,729	0,243	0,027	0,001

Якщо число випробувань велике, а ймовірність р появи події в кожному випробуванні дуже мала, то використовують наближену формулу:

P_n(k)=

Розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини Х, яка набуває значень

x_k: 0, 1, 2, …, n

з ймовірностями

p_k=P{X=x_k}= k=0, 1, 2, …, n

називається законом розподілу Пуассона, що залежить від параметра λ, λ>0.

Розподіл Пуассона записують у формі таблиці:

X=xk	0	1	2	…	n
p=pk	e-λ			…

Приклад 5. Підручник видано тиражем 100 000 примірників. Ймовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно п'ять бракованих книг.

Розв’язок. За умовою, n = 100 000, р = 0,0001, k = 5. Події, що складаються в тому, що книги зброшуровані неправильно, незалежні, число n велике, а ймовірність р мала, тому скористаємося розподілом Пуассона p_k=P{X=x_k}= k=0, 1, 2, …, n

Знайдемо λ:

λ= nр = 100 000 * 0,0001 = 10.

Шукана ймовірність

P_{100 000} (5) = 10⁵*e^-10/5 =10⁵ *0,000045/120 = 0,0375