Задачі для самостійного рішення

Приклад 1. Два рівносильних противника грають у шахи. Що імовірніше: а) виграти одну партію з двох або дві партії з чотирьох; б) виграти не менше двох партій з чотирьох або не менше трьох партій з п'яти? Нічиї до уваги не приймаються.

Приклад 2. а) Знайти ймовірність того, що подія А з'явиться не менше трьох разів на чотирьох незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи події А в одному випробуванні дорівнює 0,4;

б) подія В з'явиться у випадку, якщо подія А настане не менше чотирьох разів. Знайти ймовірність настання події В, якщо буде здійснено п'ять незалежних випробувань, у кожному з яких імовірність появи події А дорівнює 0,8.

Приклад 3. Імовірність того, що електролампочка не перегорить при ввімкненні її в електромережу, є величиною сталою і дорівнює 0,9.

Обчислити ймовірність того, що з п’яти електролампочок, увімкнених у електромережу за схемою, наведеною на рисунку 1, не перегорять: 1) дві; 2) не більш як дві; 3) не менш як дві.

Рисунок 1 Схема електромережі

Приклад 4. Робітник обслуговує шість верстатів-автоматів. Імовірність того, що протягом години верстат-автомат потребує уваги робітника, є величиною сталою і дорівнює 0,6. Яка ймовірність того, що за годину уваги робітника потребують: 1) три верстати; 2) від двох до п’яти верстатів; 3) принаймні один.

Домашнее задание:

Приклад 1. У сім'ї п'ять дітей. Знайти ймовірність того, що серед цих дітей: а) два хлопчика, б) не більше двох хлопчиків; в) більше двох хлопчиків; г) не менше двох і не більше трьох хлопчиків. Ймовірність народження хлопчика прийняти рівною 0,51.

Приклад 2. Садівником восени було посаджено сім саджанців яблуні. Імовірність того, що будь-який із саджанців навесні проросте, у середньому складає 0,7. Обчислити ймовірність того, що із семи саджанців яблуні навесні проростуть: 1) три саджанці; 2) не менш як три.

Питання для закріплення

1. Які експерименти називають експериментами за схемою Бернуллі?

2. За якої умови формула Бернуллі застосовується для обчислення ймовірностей?

Практична робота №5

Тема: Розв’язок задач за допомогою формул Лапласа

Мета: Виробити уміння самостійно використовувати формули Лапласа в розв’язку різного типу задач.

Теоретична частина

Локальная теорема Лапласа. Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n і к імовірність того, що випадкова подія А настане m раз, подається такою асимптотичною формулою

де

Є таблиці, в яких поміщені значення функції (додаток 1)

відповідні додатним значенням аргументу х. Для від'ємних значень аргументу користуються тими ж таблицями, так як функція φ(х) парна, тобто:

φ (–х)=ф(х).

Отже, ймовірність того, що подія А з'явиться в n незалежних випробуваннях рівно k разів, наближено дорівнює:

функція Гаусса.

Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.;

2) 300 шт.;

3) 320 шт.

Р озв’язок. За умовою задачі маємо:

n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.

1) ; ;

;

;

2) ;

;

3) ;

.

Приклад 2. Імовірність того, що посіяне зерно ячменю проросте в лабораторних умовах, у середньому дорівнює 0,9. Було посіяно 700 зернин ячменю в лабораторних умовах. Визначити найімовірніше число зернин, що проростуть із цієї кількості зернин, та обчислити ймовірність цього числа.

Розв’язок. За умовою задачі:

Отже, шукане число m₀ = 630.

Відповідна ймовірність буде така:

;

;

;

.

Інтегральна теорема Лапласа

Знову припустимо, що здійснюється n випробувань, у кожному з яких імовірність появи події А постійна і дорівнює р (0<р<1). Як обчислити ймовірність P_n (k₁, к₂) того, що подія А з'явиться в n випробуваннях не менше k₁ і не більше k₂ разів (для стислості будемо говорити «від k₁ до k₂ разів»)? На це питання відповідає інтегральна теорема Лапласа.

Теорема. Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n імовірність появи випадкової події від к₁ до к₂ раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

де та ,

а Ф(х) дорівнюється:

є функцією Лапласа .

Значення Ф(х) знаходять також за таблицею, яка наведена в додатку 2.

Ф(x) є непарною функцією, отже, Ф(–x) = – Ф(x).

Розв’язуючи задачі, додержують такого правила:

, .

Отже, практично функція Лапласа застосовується для значень ,

Приклад 3. Верстат-автомат виготовляє однотипні деталі. Імовірність того, що виготовлена одна деталь виявиться стандартною, є величиною сталою і дорівнює 0,95. За зміну верстатом було виготовлено 800 деталей. Яка ймовірність того, що стандартних деталей серед них буде від 720 до 780 шт.?

Розв’язок. За умовою задачі:

; ; ; ;

.

;

;

Приклад 3. Імовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробувань постійна і дорівнює р = 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться: а) не менше 75 разів і не більше 90 разів, б) не менше 75 разів; в) не більше 74 разів.

Розв’язок. Скористуємося інтегральною теоремою Лапласа:

,

де Ф(х) – функція Лапласа,

, .

а) За умовою n=100; p=0,8; q=0,2; . Знайдемо и :

;

.

Враховуючи, що функція Лапласа непарна, тобто , отримаємо

За таблицею додатку 2 знайдемо:

Шукана ймовірність:

б) Вимога, щоб подія з'явилося не менше 75 разів, означає, що число появ події може бути 75 або 76, ..., або 100. Таким чином, в розглянутому випадку слід прийняти, к₁=75, к₂=100, тоді

;

.

За таблицею додатка 2 знайдемо

.

Шукана ймовірність:

.

в) Подія – «А з'явилося не менше 75 разів» і «А з'явилося не більше 74 разів» протилежні, тому сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Отже, шукана ймовірність

.