Питання для закріплення
В якому разі Р(А/В) = 0?
Формула для обчислення появи випадкової події хоча б один раз при n незалежних експериментах має вигляд ...
Гіпотези у формулі повної ймовірності та їх властивості.
Формула повної ймовірності випадкової події А за наявності n гіпотез Ві має вигляд ...
В якому разі використовується формула Бейєса?
Практична робота №4
Тема: Розв’язок задач за допомогою формули Бернуллі
Мета: Сформувати чітке уявлення в використанні схеми Бернуллі в розв’язку задач.
Теоретична частина
Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями p і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імовірністю p відбувається, а з імовірністю q – не відбувається, тобто p + q = 1.
Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві елементарні події, а для n експериментів за схемою Бернуллі –2n елементарних подій.
Якщо відбуваються випробування, при яких імовірність появи події А в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними відносно події А.
Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р (0<р<I), подія наступить рівно k раз (байдуже, в якій послідовності), дорівнює
або
Ймовірність того, що в n випробуваннях подія настане:
а) менше k разів;
б) більш k разів;
в) не менше k разів;
г) не більше k разів, – знаходять відповідно за формулами:
а)
б)
в)
г)
Приклад 1. Два рівносильних шахіста грають у шахи. Що імовірніше: виграти дві партії з чотирьох або три партії з шести (нічиї до уваги не приймаються)?
Розв’язок. Грають рівносильні шахісти, тому ймовірність виграшу р = 1/2; отже, ймовірність програшу q так само дорівнює ½. Так як у всіх партіях ймовірність виграшу постійна і байдуже, в якій послідовності будуть виграні партії, то застосовують формулу Бернуллі.
Знайдемо ймовірність того, що дві партії з чотирьох будуть виграні:
Знайдемо ймовірність того, що будуть виграні три партії з шести:
Так
як,
то
найімовірніше виграти дві партії з
чотирьох, ніж три з шести.
Приклад 2. Монету кидають п'ять разів. Знайти ймовірність того, що «герб» випаде: а) більше двох разів, б) не більше трьох разів.
Розв’язок. Ймовірність того, що випаде герб при киданні монети становить ½.
а) Знайдемо ймовірність, що герб з’явиться більше двох разів при п’яти киданні монети, застосовуючи формулу Бернуллі
Pn(k+1)+Pn(k+2)+…+Pn(n)=Р5(3)+Р5(4)+Р5(5)=
б) Знайдемо ймовірність, що герб з’явиться не більш трьох разів при п’яти киданні монети, застосовуючи формулу Бернуллі отримаємо:
Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(n)= Р5(0)+Р5(1)+Р5(2)+ Р5(3)+Р5(4)+Р5(5)=
=
Приклад 3. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих основних елементів. Пристрій відмовляє, якщо відмовить хоча б один елемент. Імовірність відмови кожного елемента за час t дорівнює 0,1. Знайти ймовірність безвідмовної роботи пристрою за час t, якщо:
а) працюють тільки основні елементи,
б) включений один резервний елемент;
в) включені два резервних елемента.
Передбачається, що резервні елементи працюють в тому ж режимі, що й основні, ймовірність відмови кожного резервного елемента так само дорівнює 0,1 і пристрій відмовляє, якщо працює менше трьох елементів.
Розв’язок. a) За даними умови працюють тільки три елемента з трьох, використовуючи формулу Бернуллі, отримаємо:
Р3(3)=
б) Додатково включено четвертий резервний елемент, причому ймовірність його відмови така сама, як і у основних елементів, але повинно працювати не менш трьох елементів, тому маємо:
в) Додатково до трьох елементів було включено ще два резервних, тобто загалом працює п’ять елементів, але повинно працювати не менш трьох елементів за умовою задачі, тому маємо:
