Задачі для самостійного рішення

Приклад 1. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

а) X –4 6 10 . б) X 0,21 0,54 0,61

р 0,2 0,3 0,5 р 0,1 0,5 0,4

Приклад 2. Знайти математичне сподівання випадкової величини Z, якщо відомі математичні сподівання X і Y:

а) Z = 3X+2Y, M(X) = 4, M(Y) = 7;

б) Z = 3X+4Y , M(Х) = 2, M(Y) = 6.

Приклад 3. Дано перелік можливих значень дискретної випадкової величини X: х₁ = 1, х₂ = 0, х₃ = 3 також відомі математичні сподівання цієї величини та її квадрата: М (Х) = 0,1, М (Х²) == 0,9. Знайти ймовірності р₁, p₂, р₃ відповідні можливим значенням Х.

Приклад 4. Дискретна випадкова величина X приймає три можливих значення: х₁ = 4 з ймовірністю р₁ = 0,5; х₂ = 6 з ймовірністю р₂ = 0,3 та х₃ з ймовірністю р₃. Знайти х₃ та р₃, знаючи, що М (Х) == 8

Приклад 5. Випадкові величини X і У незалежні. Знайти дисперсію випадкової величини Z = 3X + 2У, якщо відомо, що

D (X) = 5, D (Y) = 6.

Приклад 6. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

X 4,3 5,1 10,6

Р 0,2 0,3 0,5

Приклад 7. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини X – числа появ події А в п'яти незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи подій А в кожному випробуванні дорівнює 0,2.

Домашнє завдання

Приклад 1. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу:

а) X 2 4 5 6 б) X 10 15 20

Р 0,3 0,1 0,2 0,4 Р 0,1 0,7 0,2

Знайти математичне сподівання.

Приклад 2. Дано перелік можливих значень дискретної випадкової величини X: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3, а також відомі математичні сподівання цієї величини та її квадрата: М (Х) = 2,3, М (Х²) = 5,9. Знайти ймовірності, відповідні можливим значенням X.

Приклад 3. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

X 131 140 160 180.

р 0,05 0,10 0,25 0,60

Пример 4. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини X – числа відмов елемента деякого пристрою в десяти незалежних дослідах, якщо ймовірність відмови елемента в кожному досвіді дорівнює 0,9.

Питання для закріплення

1. Що називається математичним сподіванням?

2. Назвіть властивості математичного сподівання?

3. Що називається дисперсією випадкової величини?

4. Назвіть властивості дисперсії?

Практичне заняття №8

Тема: Знаходження оцінок параметрів генеральної сукупності

Мета: Формувати вміння знаходити оцінки генеральної сукупності, будувати полігони частот за даними вибірки

Теоретична частина

Нехай для вивчення кількісного (дискретного або безперервного) ознаки X з генеральної сукупності витягнута вибірка х₁, х₂,. . . , х_k обсягу n. Значення x_i ознаки X, що спостерігалися називають варіантами, а послідовність варіант, записаних у зростаючому порядку, – варіаційним рядом,

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант x_i варіаційного ряду і відповідних їм частот n_i (сума всіх частот дорівнює обсягу вибірки n) або відносних частот w_i (сума всіх відносних частот дорівнює одиниці).

Статистичний розподіл вибірки можна задати також у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот (в якості частоти інтервалу приймають суму частот варіант, які потрапили в цей інтервал).

Приклад 1. Вибірка задана у вигляді розподілу частот:

х_і 2 5 7

n_i 1 3 6

Знайти розподіл відносних частот.

Розв’язок. Знайдемо обсяг вибірки:

n= 1+3+ 6 = 10

Знайдемо відносні частоти:

w₁ = 1/10 = 0,1;

w₂= 3/10 = 0,3;

w₃= 6/10 = 0,6.

Напишемо шуканий розподіл відносних частот:

х_і 2 5 7

w_i 0,1 0,3 0,6

Контроль: 0,1+0,3+0,6=1

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають функцію F*(х), яка визначає для кожного значення X відносну частоту події Х<x

F*(x)=n_x/n

де n_х – число варіант, менших х, n – обсяг вибірки.

Емпірична функція має такі властивості.

Властивість 1. Значення емпіричної функції належать відрізку [0; 1].

Властивість 2. F*(х) – неспадна функція.

Властивість 3.. Якщо х₁ – найменьша варіанта, а х_к – найбільша, то F*(х)=0 при x≤х₁ і F*(х) = 1 при х>х_к.

Приклад 2. Знайти емпіричну функцію по данному розподілу вибірки

х_і 1 4 6

n _і 10 15 25

Розв’язок. Знайдемо обсяг вибірки: n = 10+5+25 = 50.

Найменша варіанта дорівнює одиниці, тому F*(х) = 0 при х≤1.

Значення X <4, а саме х₁ = l, спостерігалося 10 разів, отже,

F*(x) = 10/50 = 0, 2 при 1≤х<4.

Значення х<6, а саме:

х₁ = l і х₂ = 4, спостерігалися 10+15 = 25 разів;

Тому, F*(х) = 25/50 = 0, 5 при 4≤х<6

Так як х=6 – найбільша варіант, то F*(х)=1, при х>6.

Напишемо шукану емпіричну функцію:

Графік функції

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з'єднують точки (x₁n₁), (x₂n₂), ... (x_in_i) де x_i – варіанти вибірки і n_i – відповідні їм частоти.

Гістограмою відносних частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, підставами яких служать часткові інтервали довжини h, а висоти дорівнюють відношенню W_i/h (щільність відносної частоти). Площа часткового i-го прямокутника дорівнює h*w_i/h) = W_i – відносної частоти варіант, що потрапили в i-й інтервал. Площа гістограми відносних частот дорівнює сумі всіх відносних частот, тобто одиниці.

Приклад 3. Побудувати полігон частот за даним розподілом вибірки

x_i 1 4 5 7

n_і 20 10 14 6

Розв’язок. Відкладемо на осі абсцис варіанти х_і, а на осі ординат –відповідні їм частоти n_і з'єднавши точки відрізками прямих, одержимо шуканий полігон частот.

Приклад 4. Побудувати гістограму частот по даному розподілу вибірки обсягу n=100:

Номер Частковий Сума частот Щільність

інтервалу інтервал варіант інтервалу частоти n_i/h

1 1–5 10 2,5

2 5–9 20 5

3 9–13 50 12,5

4 13–17 12 3

5 17–21 8 2

Розв’язок. Побудуємо на осі абсцис задані інтервали довжини h = 4. Проведемо над цими інтервалами відрізки, паралельні осі абсцис і, які знаходяться від неї на відстанях, рівних відповідним щільностям частоти n_i/h. Наприклад, над інтервалом (1–5) побудуємо відрізок, паралельний осі абсцис, на відстані n_i/h = 10/4 = 2,5; аналогічно будують інші відрізки.

Статистичною оцінкою невідомого параметра теоретичного розподілу називають функцію f (x₁, x₂, .. x_n) спостережуваних випадкових величин X₁, Х₂, ..., Х_n.

Точковою називають статистичну оцінку, яка визначається одним числом Q = f (x₁, x₂, .. x_n), де x₁, x₂, ... , х_n результати n спостережень над кількісною ознакою X (вибірка).

Heзміщеною називають точкову оцінку, математичне сподівання якої дорівнюється оцінюваному параметру при будь-якому обсязі вибірки.

Зміщеною називають точкову оцінку, математичне сподівання якої не дорівнює оцінюваному параметру.

Незміщеною оцінкою генеральної середньої (математичне сподівання) є вибіркова середня:

x_в=(∑x_i*n_i)/n

де x_i – варіанта вибірки, n_i – частота варіанти x_i, n – обсяг вибірки.

Зауваження. Якщо початкові варіанти Х – великі числа, то для спрощення розрахунку доцільно відняти з кожної варіанти одне і те ж число С, тобто перейти до умовних варіантами u_i = x_i - С (в якості С вигідно прийняти число, близьке до вибіркової середньої; оскільки вибіркова середня невідома, число С вибирають «на око»). Тоді

x_в=C+(∑x_i*n_i)/n

Приклад 5. З генеральної сукупності дістали вибірку обсягом n = 50:

варіанта x_i 2 5 7 10

частота n_i 16 12 8 14

Знайти незміщену оцінку генеральної середньої.

Розв’язок. Незміщеною оцінкою генеральної середньої є вибіркова середня

x_в = (∑n_ix_i)/n = (16*2 + 12*5+8*7+14*10)/50 = 5,76.

Приклад 6. Знайти вибіркову середню по даному розподілу вибірки обсягом n =10

x_i 1250 1270 1280

n_i 2 5 3

Розв’язок. Початкові варіанти – великі числа, тому перейдемо до умовних варіант:

u_i = x_i -1270.

В результаті отримаємо розподіл умовних варіант:

u_i -20 0 10

n_i 2 5 3

Знайдемо шукану вибіркову середню:

х_и=С+(∑n_iu_i)/n =1270+(2*(-20)+0*5+10*3)/10=1269