Практичне заняття №7

Тема: Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення

Мета: Сформувати уміння застосувати знання в комплексі

Теоретична частина

Математичне сподівання.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутку всіх її значень на відповідні їм ймовірності:

М(X) = x₁p₁ + x₂p₂+ . . . +x_np_n

Якщо дискретна випадкова величина приймає рахункове безліч можливих значень, то.

M(X)=∑x_ip_i,

причому математичне сподівання існує, якщо ряд у правій частині рівності сходиться абсолютно.

Математичне сподівання має такі властивості:

Властивість 1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій постійній величині, тобто:

М(С)==С.

Властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання:

М(СХ)==СМ(Х).

Властивість 3. Математичне сподівання добутку випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань цих величин:

М (x₁x₂ ...x_n)=М (x₁)*М(x₂)* ..*М (x_n)

Властивість 4. Математичне сподівання суми скінченої кількості випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань:

М(x₁ + x₂+...+x_n) = М(x₁)+М(x₂)+..+М(x_n).

Властивість 5. Якщо всі значення випадкової величини X зменшити (збільшити) на одне й те саме число C, то математичне сподівання зменшиться (збільшиться) на те саме число:

M(X–C)=M(X)–C

Математичне сподівання біноміального розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні:

М(Х) = nр.

Приклад 1. Знайти математичне сподівання заданим наступним законом розподілу:

Х -2 0,58 4 5,2

Р 0,1 0,2 0,4 0,3

Розв’язок. Математичне сподівання дорівнюється сумі добутку всіх можливих значень на його ймовірності.

М(Х)=-2*0,1+0,58*0,2+4*0,4+5,2*0,3=3,076

Приклад 2. Знайти математичне сподівання випадкової величини Z, якщо відомі математичні сподівання X і Y:

Z = X+2У, M(X) = 5, M(Y) = 3

Розв’язок. Використовуючи властивості математичного сподівання (математичне сподівання суми дорівнює сумі математичних сподівань доданків; постійний множник можна винести за знак математичного очікування), отримаємо:

M(Z)=M(X + 2Y)=M(X) + M(2У)=M(X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

Дисперсія випадкової величини.

Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення від її математичного сподівання.

D(X) = M[X—N(X)]².

Дисперсію зручніше обчислювати за формулою:

D(X ) = M(X²)–[M(X)]².

Властивості дисперсії.

Властивість 1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю

D(С)=0

Властивість 2. Постійний множник виноситься за знак дисперсії, якщо піднести його до квадрату, тобто:

D(СX)=С² D(X)

Властивість 3. Дисперсія суми скінченої кількості незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

D(x₁ + x₂+...+x_n) = D(x₁)+ D(x₂)+..+ D(x_n).

Дисперсія біноміального розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і не появленні події в одному випробуванні:

D(X) = npq.

Середнє квадратичне відхилення. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величину називають квадратний корінь з дисперсії:

δ(Х)= .

Приклад 3. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

X -5 2 3 4

Р 0,4 0,3 0,1 0,2

Розв’язок. Дисперсію можна обчислити виходячи з її визначення, проте ми скористаємося формулою яка швидше веде до мети.

Знайдемо математичне сподівання X:

M (Х) = -5 * 0.4 + 2 * 0.3 + 3 * 0.1 +4 * 0.2 = -0,3.

Напишемо закон розподілу Х²:

Х² 25 4 9 16

р 0,4 0,3 0,1 0,2

Знайдемо математичне сподівання Х²:

M (Х²) = 25 * 0.4 + 4 * 0,3 + 9 * 0,1 + 16 * 0,2 = 15,3,

Знайдемо шукану дисперсію:

D (X) = M (X²) - [M (X)] ² = 15,3 - (-0,3)² = 15,21.

Знайдемо шукане середньоквадратичне відхилення:

δ(X) == [D(X)]^1/2 =(15.21)^1/2 =3,9.