3. Частные и полный дифференциалы функции нескольких переменных

Частным дифференциалом функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов называется произведение частной производной этой функции по данному аргументу на дифференциал этого аргумента:

d_xz= , (7)

d_yz= (8)

Здесь d_xz и d_yz -частные дифференциалы функции z= f (x, y) по аргументам x и y. При этом

dx= Δx; dy= Δy, (9)

Полным дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма ее частных дифференциалов:

dz= d_xz + d_yz, (10)

Пример 2. Найдем частные и полный дифференциалы функции f (x, y)= x² + y³ .

Так как частные производные этой функции найдены в примере 1, то получаем

d_xz= 2xdx; d_yz= 3y²dy;

dz= 2xdx + 3y²dy

Частный дифференциал функции нескольких переменных по каждому из ее аргументов является главной частью соответствующего частного приращения функции.

Вследствие этого можно записать:

Δ_xz d_xz, Δ_yz d_yz, (11)

Аналитический смысл полного дифференциала заключается в том, что полный дифференциал функции нескольких переменных представляет собой главную часть полного приращения этой функции.

Таким образом, имеет место приближенное равенство

Δz dz, (12)

На использовании формулы (12) основано применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Представим приращение Δz в виде

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

а полный дифференциал в виде

Тогда получаем:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

откуда

, (13)

3.Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

1. Определение функции двух переменных.

2. Понятие частного и полного приращения функции двух переменных.

3. Определение частной производной функции нескольких переменных.

4. Физический смысл частной производной функции нескольких переменных по какому- либо из ее аргументов.

5. Определение частного дифференциала функции нескольких переменных.

6. Определение полного дифференциала функции нескольких переменных.

7. Аналитический смысл полного дифференциала.

Студент должен уметь:

1. Находить частные и полное приращение функции двух переменных.

2. Вычислять частные производные функции нескольких переменных.

3. Находить частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.

4. Применять полный дифференциал функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.