Тема: «функции нескольких аргументов. Частные производные и дифференциалы функций нескольких аргументов»
1.Научно-методическое обоснование темы:
До сих пор мы рассматривали функции одного аргумента, т.е. функции вида у = f(х). Но в физике, химии, биологии и других науках встречаются ситуации, когда одна из изучаемых величин зависит не от какой–то одной другой, а от нескольких независимых между собой величин. Например, ускорение материальной точки, определяемое вторым законом Ньютона, зависит от двух переменных величин: силы, приложенной к этой точке и ее массы.
2. Краткая теория:
1. Понятие функции двух переменных
Величина z называется функцией двух независимых переменных x и y, если каждой паре допустимых значений этих величин по определенному закону соответствует одно вполне определенное значение величины z. Независимые переменные x и y называют аргументами функции .
Такая функциональная зависимость аналитически обозначается
Z = f (x,y), (1)
Значения аргументов x и y, которым соответствуют действительные значения функции z, считаются допустимыми, а множество всех допустимых пар значений x и y называют областью определения функции двух переменных.
Для функции нескольких переменных, в отличие от функции одной переменной, вводят понятия ее частных приращений по каждому из аргументов и понятие полного приращения.
Частным приращением Δxz функции z=f (x,y) по аргументу x называется приращение, которое получает эта функция, если ее аргумент x получает приращение Δx при неизменном y:
Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)
Частным приращением Δyz функции z= f (x, y) по аргументу y называется приращение, которое получает эта функция, если ее аргумент y получает приращение Δy при неизменном x:
Δyz= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)
Полным приращением Δz функции z= f (x, y) по аргументам x и y называется приращение, которое получает функция, если оба ее аргумента получают приращения:
Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)
При достаточно малых приращениях Δx и Δy аргументов функции
имеет место приближенное равенство:
Δz
Δxz
+ Δyz
, (5)
причем оно тем точнее, чем меньше Δx и Δy .
2.Частные производные функции двух переменных
Частной производной функции z=f (x, y) по аргументу x в точке (x, y) называется предел отношения частного приращения Δxz этой функции к соответствующему приращению Δx аргумента x при стремлении Δx к 0 и при условии , что этот предел существует:
,
(6)
Аналогично определяют производную функции z=f (x, y) по аргументу y:
Кроме
указанного обозначения, частные
производные функции обозначают также
,
z΄x,
f΄x(x,
y);
,
z΄y,
f΄y(x,
y).
Основной смысл частной производной состоит в следующем: частная производная функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов характеризует скорость изменения данной функции при изменении этого аргумента.
При вычислении частной производной функции нескольких переменных по какому-либо аргументу все остальные аргументы этой функции считаются постоянными.
Пример1. Найти частные производные функции
f (x, y)= x2+ y3
Решение. При нахождении частной производной этой функции по аргументу x аргумент y считаем постоянной величиной:
;
При нахождении частной производной по аргументу y аргумент x считаем постоянной величиной:
.