1) На интервале убывает, 2) на интервале возрастает.

Согласно правилу 1.1 существования экстремумов точка является точкой локального минимума. Значение локального минимума равно 0.

На рисунке 4 приведён эскиз графика функции

рис.4

С помощью первой производной мы определяли интервалы монотонности дифференцируемых функций и исследовали эти функции на экстремумы.

Определение 1.2. Назовём функцию дважды непрерывно дифференцируемой, если её вторая производная непрерывна на .

Вторая производная используется для исследования графиков дважды непрерывно дифференцируемых функций на выпуклость. Мы будем использовать следующие определения выпуклости вверх и выпуклости вниз.

О пределение 1.3. Функция, дифференцируемая на интервале , выпукла вверх, если её производная на этом интервале убывает.

Геометрически это означает, что наклон касательной уменьшается.

рис.5

О пределение 1. 4. Функция, дифференцируемая на интервале , выпукла вниз, если её производная на этом интервале в озрастает.

Г еометрически это означает, что наклон касательной увеличивается.

рис.6

Теорема 1.3. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале тогда, если

Доказательство. Докажем пункт 1) теоремы 1.3. По условию , следовательно, по теореме 1.1 убывает. Из определения 1.3 следует, что функция выпукла вверх.

Докажем пункт 2) теоремы. По условию , следовательно,по теореме 1.1

возрастает. Из определения 1.4 следует, что функция выпукла вниз.

Замечание. Как известно, из двух точек с одинаковыми абсциссами и выше

лежит точка, у которой ордината больше и наоборот ниже лежит точка, у которой

ордината меньше.

Теорема 1.4. Точки графика выпуклой вверх дифференцируемой функции лежат ниже любой касательной проведённой к графику.

_{Доказательство.} Пусть уравнение касательной прямой, проведённой к графику функции в точке касания . Докажем, что любая точка касательной лежит выше точки графика функции (см. замечание выше), то есть для . Возьмём точку справа от точки , что означает . Рассмотрим разность

Применим теорему Лагранжа о среднем в дифференцировании к разности , получаем . Отсюда , .

По условию у нас производная функции убывает. Следовательно, разность

положительна. Отсюда следует, что и поэтому точка

лежит выше точки . Теорема доказана. Аналогично рассматривается случай, когда

точка .

Теорема 1.5. Точки графика выпуклой вниз функции лежат выше любой касательной проведённой к графику.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.4.

Определение 1.5. Точка , лежащая на графике функции , будет точкой перегиба графика функции, если

1. график функции имеет в точке касательную прямую

вертикальную или наклонную;

2. слева и справа от точки выпуклости графика противоположно направлены.

Замечание. В точках перегиба графика функция непрерывна.

Определение 1.6. Назовём точку , в которой график непрерывен, точкой « подозрительной на перегиб», если в этой точке .

Теорема 1.6. Точки перегиба графиков дважды дифференцируемых функций находятся среди

точек « подозрительных на перегиб».

Доказательство. Пусть точка является точкой перегиба графика функции. Если значения не существует, то теорема доказана. Пусть существует и по условию слева и справа от точки перегиба графика имеет разные знаки. Следовательно, в точке (см.в главе 3, теорему4.9 ).

Правило 1.2 нахождения точек перегиба графика функции (используется вторая производная).

Для отыскания точек перегиба графика дважды дифференцируемой функции

следует:

1. Найти точки, «подозрительные на перегиб».

2. Точка перегиба достигается в тех , при переходе через которые меняет знак.

Пример 1.3. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение. Вычисляем вторую производную функции

и находим точки подозрительные на перегиб. В этих точках вторая производная равна нулю

		-2		-1
		0		0
		0		-1

Между критическими точками производная функции сохраняет знак.

Ответ. Функция

1. на интервале выпукла вниз, 2) на интервале выпукла вверх, 3) на интервале выпукла вниз.

Согласно правилу 1.2 существования точек перегиба

1. точка является точкой перегиба графика функции.

2. точка является точкой перегиба графика функции.

Пример 1.4. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение. Вычисляем вторую производную функции

Находим точки « подозрительные на перегиб». В этих точках вторая производная равна нулю или не существует. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Дробь не существует, если знаменатель равен нулю. В нашем случае только знаменатель равен нулю. Поэтому точкой

« подозрительной на перегиб» является точка .

		0
		нет
		0

Между точками « подозрительными на перегиб» вторая производная функции сохраняет знак.

Ответ. Функция