Глава 5. Исследование функций и построение её графика.

Тема 1 . Исследование функций .

Одной из простейших операций исследования поведения функции является исследование

функции на монотонность.

Определение 1.1. Функция , заданная на интервале , называется возрастающей функцией на этом интервале, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть

(1.1)

Определение 1.2. Функция , заданная на интервале , называется убывающей функцией на этом интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть

(1.2)

Убывающие или возрастающие на интервале функции называются монотонными функциями.

Если задан график функции, то по его виду легко определить возрастает функция или убывает.

Если двигаться по графику слева направо, то у возрастающей функции график поднимается вверх (рис.1а), а у убывающей функции график опускается вниз (рис.1б).

рис.1а. рис.1б.

На рисунках 1а.,1б приведены графики монотонных функций. Рассмотрим график, предложенный

на рис.2

рис.2

Функция не является монотонной на всем множестве. Но на интервале она убывает. На интервале она возрастает. И наконец, на интервале она убывает. Итак, если задан график, то несложно определить интервалы, где функция возрастает, а где убывает.

Возникает вопрос, как исследовать функцию на монотонность, если задана только формула, определяющая функцию. В случае, когда функция дифференцируема, это сделать легко.

Пусть на интервале задана дифференцируемая функция . Геометрически это означает, что в каждой точке график функции имеет касательную. Наклон касательной, как мы уже знаем, зависит от знака производной в точке касания. Если производная больше нуля, то угол наклона касательной острый, если производная меньше нуля угол наклона касательной тупой.

Теорема 1.1. Пусть функция определена и непрерывна на , дифференцируема

на и если:

₁₎

_(1.3)

2)

Доказательство. Докажем пункт 1). Как всегда берём любую пару из . Нужно доказать, что . На отрезке выполнены все условия теоремы о среднем Лагранжа. Запишем формулу Лагранжа для этого случая

(1.4)

Так как

По определению 1.1 это означает, что функция возрастает.

Пункт 1) Теоремы 1.1 доказан. Доказательство пункта 2) предоставляем читателю.

Напомним определения экстремальных точек и экстремальных значений функций.

Локальным максимумом называется значение функции, которое больше чем любое другое значение функции для всех достаточно близких значений аргумента.

Локальным минимумом называется значение функции, которое меньше чем любое другое значение функции для всех достаточно близких значений аргумента.

Локальные максимумы и локальные минимумы называются экстремальными значениями функций или локальными экстремумами.

Значения аргумента, при которых достигаются экстремальные значения функций, называются экстремальными точками. Экстремальные точки всегда лежат внутри интервала. Значения аргументов _, при которых производная функции или не существует называются критическими точками функции . Критические точки всегда лежат внутри интервала. Следующая теорема говорит нам о том, что экстремальные точки нужно искать только среди критических.

Теорема 1.2. Если в точке имеется локальный экстремум, то эта точка критическая. Доказательство. 1. Если не существует, то критическая точка. Если же в точке

производная существует, то в силу условия теоремы 1.2 из теоремы Ферма следует, что =0.

Замечание. Наоборот неверно, если точка критическая, то совсем не обязательно, что она экстремальная.

П

Рис.3

ример 1. . Точка критическая так как . Но если посмотреть на график, то видно, что функция в критической точке не имеет экстремума рис 3.

Приведём алгоритм определения экстремальных точек (используются только первые производные).

Правило 1.1 отыскания локальных экстремумов дифференцируемой функции :

1. Находим критические точки.

2. Из найденных точек оставляем те, при переходе через которые меняет знак.

3. Локальный максимум достигается в точках , при переходе через которые меняет знак с положительного значения на отрицательное значение.

4. Локальный минимум достигается в точках , при переходе через которые меняет знак с отрицательного значения на положительное значение.

5. Замечание. Экстремума нет в тех точках, при переходе через которые не меняет знак.

Рассмотрим поясняющий пример.

Пример 1.1. Определить интервалы монотонности и точки локальных экстремумов

функции

Решение. Вычисляем первую производную функции

и находим критические точки функции. Так как производная существует при любых аргументах . То критическими точками являются точки, в которых производная равна нулю

С помощью производной и критических точек исследуем функцию по правилу 1.1

		-1		1
		0		0
		-2.5		2.5

Между критическими точками производная функции всегда сохраняет знак.

Ответ. Согласно правилу 5.1 функция

1) на интервале убывает, 2) на интервале возрастает,

3) на интервале убывает.

Согласно правилу 1.1 существования экстремумов

1. точка является точкой локального минимума. Значение локального минимума равно -2.5.

2. точка является точкой локального максимума. Значение локального максимума равно 2.5.

График функции можно посмотреть на рисунке 2.

Пример 1.2. Определить интервалы монотонности и точки локальных экстремумов

функции .

Решение. Вычисляем первую производную функции

и находим критические точки функции. Так как производная функции нигде не равна нулю, то

критическими могут быть только точки, в которых производная не существует. Такой точкой является точка .

С помощью производной и критических точек исследуем функцию по правилу 1.1

		1
		нет
		0

Между критическими точками производная функции сохраняет знак.

Ответ. Функция