Лабораторная работа № 11 Тема: Приложения определённого интеграла к решению геометрических задач

Цель работы: Рассмотреть приложения определённого интеграла к решению геометрических задач (вычисление объёмов тел вращения и площади поверхности вращения).

11.1. Объём тела вращения

1. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции , прямыми и осью Ох. Если эту трапецию вращать вокруг одной из координатных осей, то получится некоторое объёмное тело. Объём полученного тела вращения можно вычислить при помощи определённого интеграла:

- если трапеция вращается вокруг оси Ох, то ;

- если трапеция вращается вокруг оси Оу, то .

Если вращается фигура, ограниченная кривыми и , и прямыми , то формулы для вычисления объёма запишутся соответственно:

и .

2. Если фигура, ограниченная кривой, заданной параметрически где , вращается вокруг оси Ох или Оу, то объемы получающихся тел вращения вычисляются по формулам:

и .

3. В полярных координатах криволинейный сектор, ограниченный кривой и лучами и , можно вращать вокруг полярной оси. Объём получающегося тела вращения вычисляется по формуле:

.

Пример 1. Найдем объём тела, образованного вращением вокруг полярной оси кардиоиды .

Решение. Построим кардиоиду:

Видим, что при изменении  от 0 до получается фигура, симметричная относительно полярной оси. Тело вращения получается при вращении вокруг полярной оси только одной её части, например, той, что расположена выше полярной оси. Поэтому интеграл вычисляем в пределах от 0 до .

11.2. Площадь поверхности вращения

1. Если дуга некоторой кривой , вращается вокруг оси Ох, то получится некоторая поверхность вращения, площадь которой вычисляется по формуле:

.

2. Если кривая, заданная параметрически где , вращается вокруг оси Ох , то площадь получающейся поверхности находится по формуле:

.

3. Если кривая, заданная в полярной системе координат уравнением , где , вращается вокруг полярной оси, то площадь получающейся поверхности равна:

.

Пример 2. Найдем площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох одной арки циклоиды

Решение. Одна арка циклоиды получается при . Используя соответствующую формулу, вычисляем:

11.3. Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить объём тела вращения:

	а)	б)
1.	, ось Ох	, ось Оу
2.	, ось Ох	, , ось Оу
3.	, ось Оу	, ось Ох
4.	, ось Ох	, ось Ох
5.	, ось Ох	, ось Ох
6.	, ось Ох	, ось Оу
7.	, ось Ох	, , ось Оу
8.	, ось Ох	, ось Ох
9.	, ось Ох	, ось Ох
10.	, ось Ох	, , ось Ох
11.	ось Ох	ось Ох
12.	ось Ох	полярная ось
13.	, ось Оу	полярная ось
14.	, ось Ох	, ось Оу
15.	, ось Ох	полярная ось
16.	ось Ох	полярная ось
17.	ось Ох	полярная ось
18.	ось Ох	полярная ось
19.	, ось Оу	ось Оу
20.	, ось Ох	полярная ось

2. Вычислить площадь поверхности вращения:

1.	полярная ось
2.	, ось Ох
3.	, полярная ось
4.	, полярная ось
5.	, ось Ох
6.	ось Ох
7.	, полярная ось
8.	полярная ось
9.	, полярная ось
10.	, полярная ось
11.	полярная ось
12.	, ось Ох
13.	, ось Ох
14.	, полярная ось
15.	, ось Ох
16.	, ось Ох
17.	, ось Ох
18.	, ось Ох
19.	, ось Ох
20.	, ось Ох