Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»

Кафедра информатики и прикладной математики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

: Эконометрика

По дисциплине ____________________________________________________

Автор: студентка 3 курса, группы: ФКз-11-6б

Шифр: 1170031160

_________ Павлова О.А.

(подпись) (Ф.И.О.)

ОЦЕНКА: _____________

Дата: ___________________

ПРОВЕРИЛА: ________ Боброва Л.В.

(подпись) (Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

2013 год

Значение параметров моделирования: a₀=180; a₁=30; =45 (10вариант)

Моделирование исходных данных

Пусть x обозначает объем продаж некоторого продукта (в тысячах единиц), а y – фактические затраты на реализацию этого объема (в у. е.). Здесь объем продаж x будем считать фактором, объясняющим фактические затраты y. Допустим, что уравнение

y=180+30x+u (4.4)

задает зависимость фактических затрат y от объема продаж x. Случайная величина u распределена нормально с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением = 45. Из (4.4) следует, что фактические затраты y складываются из средних затрат

y^ср =180+30x (4.5)

и отклонений u фактических затрат от средних затрат. Таким образом, из (4.4) следует, что для фактических затрат y имеет место равенство

y=y^ср+u. (4.6)

Для получения исходных данных будем моделировать уравнение (4.6) последовательно для объема продаж x = 1,2..,10. При заданном объеме продаж x средние затраты вычисляем по формуле (4.5), а значения u отклонений фактических затрат от средних будем моделировать с помощью таблицы случайных чисел, распределенных нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, следующим образом. Из таблицы А приложения выбираем любые десять значений (например, первые десять значений девятого столбца). Обозначим их z_i и поместим в первый столбец табл. 4.1. По выбранным значениям z_i вычислим отклонения от средних затрат u_i по формуле

u_i= z_i..

В нашем примере  =45. Эти значения составят второй столбец табл. 4.2. В третий и четвертый столбцы таблицы поместим объемы продаж x_i и средние затраты y_i^пр, вычисленные по формуле (4.5). Тогда фактические затраты получаются, согласно формуле (4.6), сложением средних затрат из столбца четыре с отклонениями от них из второго столбца. Фактические затраты помещены в пятый столбец табл. 4.2. Для примера получим фактические затраты при объеме продаж x=1. Из (4.6) следует, что фактические затраты в первом наблюдении равны

y₁ =y^ср+u₁=210 + (-16,965)=193,035.

Заметим, что значение -33,84 означает, что фактические затраты меньше средних на -16,965у. е. Аналогично вычисляются фактические затраты y₂. Во втором наблюдении при x=2

y₂= y^ср+u₂=240 + 22,815=262,815.

В этом случае фактические затраты оказались меньше средних на 22,815у.е. Продолжая моделирование аналогичным образом для x=3,4 ,10, построим исходные данные для десяти наблюдений.

y₃= y^ср+u₃=270 + 52,02=322,02.

y₄= y^ср+u₄=300 + 56,115=356,115.

y₅= y^ср+u₅=330 +52,74 =382,74.

y₆= y^ср+u₆=360 + (-22,59)=337,41.

y₇= y^ср+u₇=390 + 44,685=434,685.

y₈= y^ср+u₈=420 + 45,405=465,405.

y₉= y^ср+u₉=450 + 43,875=493,875.

y₁₀= y^ср+u₁₀=480 + 78,21=558,21.

Метод наименьших квадратов

Рассчитаем теперь коэффициенты регрессии по формулам

,

.

Для этого необходимо предварительно вычислить x_iy_i, x_i², y_i², заполнить шестой, седьмой и восьмой столбцы таблицы, а затем найти сумму и среднее арифметическое этих столбцов. Тогда коэффициенты регрессии будут равны b₀=380,631-(35,225.5)=186,921.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид

y^пр=186,921+35,22x. (4.7)

Таблица 4.2

zi	ui=45zi	xi	yiср=180+30xi	yi=yср+ui	xiyi	xi2	yi2	yiпр	ei
-0,377	-16,965	1	210	193,035	193,035	1	37262,511	222,141	-29,106
0,507	22,815	2	240	262,815	525,63	4	69071,724	257,361	5,454
1,156	52,02	3	270	322,02	966,06	9	103696,880	292,581	29,439
1,247	56,115	4	300	356,115	1424,46	16	125749,548	327,801	28,314
1,172	52,74	5	330	382,74	1913,7	25	146489,908	363,021	19,719
-0,502	-22,59	6	360	337,41	2024,46	36	113845,508	398,241	-60,831
0,993	44,685	7	390	434,685	3042,795	49	188951,049	433,461	1,224
1,009	45,405	8	420	465,405	3723,24	64	215501,814	468,681	-3,276
0,975	43,875	9	450	493,875	4444,875	81	243912,516	503,901	-10,026
1,738	78,21	10	480	558,21	5582,1	100	311598,404	539,121	19,089
Сумма		55		3806,31	23840,355	385	1557179,862
Среднее		5,5		380,631	2384,0355	38,50	155717,9862

Уравнение регрессии (4.7) позволяет вычислить прогноз средних затрат y^ср(x) при любом объеме продаж x. При x=1 средние затраты составят

y^cр(1)= 210 у.е.,

а их прогноз

y^пр(1)=186,921+35,221=222,141 у. е.

(При этом по исходным данным фактические затраты составляли 193,035у.е.) Расхождение между фактическими и прогнозируемыми затратами называют остатками e_i. При x=1 остаток составит величину

e₁=y₁-y^пр(1)=193,035-222,141=-29,106

e₂=y₂-y^пр(2)=262,815-257,361=5,454

e₃=y₃-y^пр(3)=322,02-292,581=29,439

e₄=y₄-y^пр(4)=356,115-327,801=28,314

e₅=y₅-y^пр(5)=382,74-363,021=19,719

e₆=y₆-y^пр(6)=337,41-398,241=-60,831

e₇=y₇-y^пр(7)=434,685-433,461=1,224

e₈=y₈-y^пр(8)=465,405-468,681=-3,276

e₉=y₉-y^пр(9)=494,875-503,901=-10,026

e₁₀=y₁₀-y^пр(10)=558,21-539,121=19,089.

Все значения y_i^пр и остатки e_i помещены в двух последних столбцах табл. 4.2.

Для дисперсии ² найдем ее оценку s² по формуле

Тогда стандартная ошибка s = =29,82.

Теперь можно сравнить параметры уравнения модели (4.4) с коэффициентами уравнения регрессии (4.7) и стандартное отклонение  со стандартной ошибкой s:

параметр a₀=180, а его оценка b₀=186,921,

параметр a₁=30, а его оценка b₁=35,22,

параметр =45, а его оценка s=29,82.

В нашем примере сравнение показывает относительную близость параметров и их оценок. Используя предположение о нормальном распределении отклонений u фактических затрат от средних, можно оценить степень отклонения оценок от параметров.