Почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

Теорема. Пусть функции определены на отрезке [a;b] и имеют на этом отрезке конечные производные . Пусть, кроме того, функциональный ряд (функциональная последовательность сходится хотя бы в одной точке , а функциональный ряд , составленный из производных (функциональная последовательность , составленная из производных) равномерно сходится на отрезке [a;b]. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) функциональный ряд (функциональная последовательность равномерно сходится на отрезке [a;b];

2) его сумма (предельная функция последовательности) f(x) имеет конечную производную в каждой точке отрезка [a;b], выражаемую равенством

Доказательство. Зафиксировав номера n и m, рассмотрим функцию

Зафиксируем теперь произвольно малое число . В силу равномерной сходимости ряда, составленного из производных, найдется такой номер N₀, что для всех номеров n>N₀, для всех натуральных чисел m и для всех значений будет выполняться неравенство

Для таких номеров n и m, рассмотрим функцию

По теореме Лагранжа о конечных приращениях между точками x и x₀ найдется точка , такая, что будет выполняться равенство

Но тогда по доказанному выше мы будем иметь:

Отсюда, согласно критерию Коши, следует равномерная на отрезке [a;b] сходимость функционального ряда

Отсюда уже и следуют оба утверждения теоремы.

Прежде всего пусть x₀ – та самая точка, в которой сходится ряд . В силу доказанной равномерной сходимости функционального ряда а вместе с ним и функционального ряда получаем, что функциональный ряд сходится равномерно на отрезке [a;b]. Пусть f(x) – его сумма. Но тогда по теореме о почленном переходе к пределу для равномерно сходящегося функционального ряда получаем:

Теорема доказана.

25