Тема 2. Элементы комбинаторики

Цель изучения темы:

формирование представления о комбинаторике, ее структуре и применении.

Задачи изучения темы:

1. Ознакомиться с техникой решения комбинаторных задач.

2. Познакомиться со способами нахождения числа комбинаций из объектов.

Основные определения и формулы

Два правила комбинаторики – правило суммы и правило произведения.

Если из некоторого конечного множества объект А можно выбрать m способами, объект В можно выбрать n способами, то выбор А или В можно осуществить m+n способами (правило суммы).

Если из некоторого конечного множества объект А можно выбрать m способами, объект В можно выбрать n способами, то выбор пары А и В в указанном порядке можно осуществить m∙n способами (правило произведения).

Основные комбинаторные конфигурации:

Размещения
Размещением из n элементов по k элементам называют упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n -элементному множеству	Размещения отличны друг от друга или порядком следования элементов, или их составом	Число размещений из n элементов по k элементам обозначается через и вычисляется по формуле
Перестановки (размещение при )
Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n элементам	Перестановки отличны друг от друга только порядком следования элементов	Число перестановок из n элементов обозначается через и вычисляется по формуле Рn=n!
Сочетания
Сочетанием из n элементов по k элементам называют любой набор из k элементов, принадлежащих n- элементному множеству	Сочетания отличны друг от друга только составом элементов	Число сочетаний из n элементов по k элементам обозначается через и вычисляется по формуле

Комбинаторные задачи

2.1. Личный состав отделения милиции состоит из 10 сержантов, 7 лейтенантов и 5 капитанов. Из них нужно составить группу, в состав которой войдут 4 сержанта, 3 лейтенанта и 1 капитан. Сколькими способами это можно сделать?

2.2. Автомобильный номер состоит из 3 букв русского алфавита (кроме ё, й, ы, ь, ъ) и 3 цифр. Сколько существует таких номеров, в которых нет одинаковых букв и одинаковых цифр, и сколько номеров без этих ограничений?

2.3. На складе имеются 10 винтовок с оптическим прицелом, 15 винтовок без оптического прицела и 12 карабинов. Сколькими способами можно выбрать 9 единиц оружия так, чтобы среди выбранных было две винтовки с оптическим прицелом, 4 винтовки без оптического прицела и 3 карабина?

2.4. Их 10 офицеров и 15 солдат надо составить наряд так, чтобы в него входили 2 офицера и 3 солдата. Сколько существует таких нарядов?

2.5. Сколькими способами из 28 студентов группы, в которой половина юношей, можно выбрать команду делегатов на студенческую конференцию, в которую входят 2 девушки и 4 юноши?

2.6. Сколькими способами из урны, содержащей 30 белых и 10 черных шаров, можно извлечь 40% всех шаров так, чтобы 2 из них были черными?

2.7. Замок у сейфа открывается, если набрана правильная комбинация из четырех цифр от 0 до 9. Преступник пытается открыть сейф и набирает шифр наудачу. Найдите наибольшее возможное число безуспешных попыток.

2.8. Абонент забыл две последние цифры номера телефона и набирает их наудачу. Каково наибольшее число безуспешных попыток абонента, если он помнит, что забытые цифры различны, и без этого ограничения?

2.9. В рабочий кабинет следователя необходимо купить стол, стул и шкаф. В магазине есть 6 видов столов, 4 вида шкафов и 12 видов стульев. Кроме этого, 2 вида гарнитуров, состоящих из стола и шкафа, и 8 гарнитуров, состоящих из стола и стула. Сколькими способами можно обставить кабинет?

2.10. Сколькими способами можно разместить 10 студентов за 10 различными компьютерами и сколько потребуется времени для перебора всех вариантов, если на один вариант требуется 10 секунд?

Контрольные вопросы по теме 2

1. Правило суммы в комбинаторике.

2. правило произведения в комбинаторике.

3. Размещение: определение, формула для числа размещений.

4. Сочетание: определение, формула для числа сочетаний.

5. Перестановка: определение, формула для числа перестановок.