Тема 9. Линии регрессии
Цель изучения темы:
Формирование представления о математическом моделировании реальных процессов по статистической информации о них.
Задачи изучения темы:
1. Обзор видов аналитических зависимостей, применяемых при аппроксимации экспериментальных данных и критериев их сравнения.
2. Построение линейной аппроксимации по методу наименьших квадратов.
3. Решение задач прогнозирования на базе модели аналитического выравнивания статистических данных.
4. Назначение и техника нахождения линейного коэффициента корреляции.
Основные определения и формулы
Ряды динамики (временные ряды) - это ряды статистических показателей, характеризующих развитие явлений во времени. Ряды динамики, как правило, представляют в виде таблицы или графика, причем по оси абсцисс строится шкала времени t, а по оси ординат – шкала уровней ряда y.
При прогнозировании тренда на основе модели аналитического выравнивания применяется трендовая модель вида:
где
постоянные
коэффициенты уравнения.
Коэффициенты
вычисляются при решении системы:
Степень тесноты линейной зависимости оценивается через линейный коэффициент корреляции:
Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от –1 до + 1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак указывает направление связи: «+» – прямая зависимость, «–» имеет место при обратной зависимости.
Задачи на построение линий регрессии
9.1. Количество ежемесячно регистрируемой преступности представлен в таблице:
Месяц,
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Кол-во преступлений,
|
10 |
9 |
11 |
13 |
14 |
Найдите прогноз количества преступлений для 7 месяца.
9.2. Из имеющихся 8 пар данных на осужденных с информацией: стаж работы/ количество изготовленных изделий, представленных в таблице:
Стаж работы, лет, |
3 |
4 |
5 |
7 |
8 |
10 |
11 |
12 |
Кол-во изготовленных изделий, шт. |
9 |
9 |
7 |
12 |
10 |
21 |
20 |
26 |
а)
рассчитайте уравнение регрессии,
характеризующее прямолинейную зависимость
между стажем работы осужденного и
количеством изготовленных изделий; б)
постройте исходные точки
и прямую линии регрессии в одной системе
координат; в) найдите прогноз количества
изготовленных изделий для стажа 15 лет.
9.3. Торговое предприятие имеет сеть, состоящую из 8 магазинов, информация о деятельности которых представлена в таблице. Руководство предприятия хотело бы знать: а) как зависит размер годового товарооборота от торговой площади магазина; б) зависимость годового товарооборота от среднего числа посетителей в день; в) коэффициент корреляции между размером годового товарооборота и торговой площади магазина; г) коэффициент корреляции годового товарооборота и среднего числа посетителей в день.
Номер магазина |
Годовой товарооборот, млн руб |
Торговая площадь, тыс. м2 |
Среднее число посетителей в день, тыс. чел. |
1 |
19,76 |
0,24 |
8,25 |
2 |
38,09 |
0,31 |
10,24 |
3 |
40,95 |
0,55 |
9,31 |
4 |
41,08 |
0,48 |
11,01 |
5 |
56,29 |
0,78 |
8,54 |
6 |
68,51 |
0,98 |
7,51 |
7 |
75,01 |
0,94 |
12,36 |
8 |
89,05 |
1,21 |
10,81 |
9.4. Количество мелких хищений продукции на мясокомбинате характеризуется следующими данными:
Год |
2006 |
2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
2011 |
Число хищений |
173 |
189 |
194 |
123 |
128 |
134 |
Изобразите динамику числа хищений графически и спрогнозируйте число хищений в 2012 году.
Контрольные вопросы по теме 9
1. Ряды динамики (временные ряды).
2. Формула для вычисления коэффициентов линии тренда по методу наименьших квадратов.
3. линейный коэффициент корреляции: формула, смысл.
ОТВЕТЫ
Тема 1.
…1.4. 120; 1.6. 1200
Тема 2.
2.1.
Тема 3.
3.1.
Тема 4.
4.1.
Тема 5.
5.1.
Тема 6.
6.1.
Тема 7.
7.1.
Тема 8.
8.1.
Тема 9.
9.1.